Dir si les següents funcions són simètriques, antisimètriques i/o periòdiques o no i trobar els punts de tall amb els eixos:
- $$f(x)=x^2-4$$
- $$f(x)=\cos (x)$$
- $$f(x)=\dfrac{2x}{x^2-1}$$
- $$f(x)=x$$
Desenvolupament:
-
La funció és simètrica respecte l'eix $$x=0$$: $$$ f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)$$$ La funció no és periòdica ja que no presenta cap tipus de període.
Punts de tall amb els eixos:
Si $$x=0 \Rightarrow y=f(0)=-4 \Rightarrow (0,-4)$$
Si $$y=0 \Rightarrow 0=f(x)=x^2-4 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \Rightarrow (2,0), \ (-2,0)$$
-
La funció és simètrica respecte l'eix $$x=0$$ ja que $$$\cos (x)=\cos(-x)$$$ A més, el cosinus és $$2\pi$$-periòdic: $$\cos(x+2\pi)=\cos(x)$$.
Punts de tall amb els eixos:
Si $$x=0 \Rightarrow y=f(0)=\cos(0)=1 \Rightarrow (0,1)$$
Si $$y=0 \Rightarrow 0=f(x)=\cos(x) \Rightarrow x=\pi+\pi k \Rightarrow (\pi+\pi k,0)$$ per a tot $$k\in\mathbb{Z}$$
-
Aquesta funció és antisimètrica respecte l'eix $$x=0$$ ja que $$$ f(-x)=\dfrac{-2x}{(-x)^2-1}=\dfrac{-2x}{x^-1}=-f(x)$$$ No presenta cap tipus de període.
Punts de tall amb els eixos:
Si $$x=0 \Rightarrow y=f(0)=0 \Rightarrow (0,0)$$
Si $$y=0 \Rightarrow 0=f(x)=\dfrac{2x}{x^2-1} \Rightarrow 0=2x \Rightarrow x=0 \Rightarrow (0,0)$$
-
Funció clarament antisimètrica en l'eix $$x=0$$: $$$f(-x)=-x=-f(x)$$$ Punts de tall amb els eixos:
Si $$x=0 \Rightarrow y=f(0)=0 \Rightarrow (0,0)$$
Si $$y=0 \Rightarrow 0=f(x)=x \Rightarrow x=0 \Rightarrow (0,0)$$
Solució:
- Funció parella, no periòdica. Talla amb els eixos en els punts $$(0,-4),\ (2,0), \ (-2,0)$$.
- Funció parella, periòdica de període $$2\pi$$. Talla amb els eixos en els punts $$(0,1), \ (\pi+\pi k,0)$$ per a tot $$k\in\mathbb{Z}$$.
- Funció senar, sense períodes. Talla amb els eixos en el punt $$(0,0)$$.
- Funció senar, sense períodes. Talla amb els eixos en el punt $$(0,0)$$.