Exercicis de Simetria, periodicitat i punts de tall d'una funció

Desenvolupament:

1. La funció és simètrica respecte l'eix $x=0$: $$f(-x)=(-x{)}^2-4=x^2-4=f(x)$$ La funció no és periòdica ja que no presenta cap tipus de període.

   Punts de tall amb els eixos:

   Si $x=0\Rightarrow y=f(0)=-4\Rightarrow (0,-4)$

   Si $y=0\Rightarrow 0=f(x)=x^2-4\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2\Rightarrow (2,0),(-2,0)$

2. La funció és simètrica respecte l'eix $x=0$ ja que $$\cos (x)=\cos (-x)$$ A més, el cosinus és $2\pi$-periòdic: $\cos (x+2\pi )=\cos (x)$.

   Punts de tall amb els eixos:

   Si $x=0\Rightarrow y=f(0)=\cos (0)=1\Rightarrow (0,1)$

   Si $y=0\Rightarrow 0=f(x)=\cos (x)\Rightarrow x=\pi +\pi k\Rightarrow (\pi +\pi k,0)$ per a tot $k\in \mathbb{Z}$

3. Aquesta funció és antisimètrica respecte l'eix $x=0$ ja que $$f(-x)={\displaystyle \frac{-2x}{(-x{)}^2-1}}={\displaystyle \frac{-2x}{x^{-}1}}=-f(x)$$ No presenta cap tipus de període.

   Punts de tall amb els eixos:

   Si $x=0\Rightarrow y=f(0)=0\Rightarrow (0,0)$

   Si $y=0\Rightarrow 0=f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2-1}}\Rightarrow 0=2x\Rightarrow x=0\Rightarrow (0,0)$

4. Funció clarament antisimètrica en l'eix $x=0$: $$f(-x)=-x=-f(x)$$ Punts de tall amb els eixos:

   Si $x=0\Rightarrow y=f(0)=0\Rightarrow (0,0)$

   Si $y=0\Rightarrow 0=f(x)=x\Rightarrow x=0\Rightarrow (0,0)$

Solució:

1. Funció parella, no periòdica. Talla amb els eixos en els punts $(0,-4),(2,0),(-2,0)$.
2. Funció parella, periòdica de període $2\pi$. Talla amb els eixos en els punts $(0,1),(\pi +\pi k,0)$ per a tot $k\in \mathbb{Z}$.
3. Funció senar, sense períodes. Talla amb els eixos en el punt $(0,0)$.
4. Funció senar, sense períodes. Talla amb els eixos en el punt $(0,0)$.

Amagar desenvolupament i solució