Ejercicios de Simetría, periodicidad y puntos de corte de una función

Desarrollo:

1. La función es simétrica respecto el eje $x=0$: $$f(-x)=(-x{)}^2-4=x^2-4=f(x)$$ La función no es periódica ya que no presenta ningun tipo de periodo.

   Puntos de corte con los ejes:

   Si $x=0\Rightarrow y=f(0)=-4\Rightarrow (0,-4)$

   Si $y=0\Rightarrow 0=f(x)=x^2-4\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2\Rightarrow (2,0),(-2,0)$

2. La función es simétrica respecto el eje $x=0$ ya que $$\cos (x)=\cos (-x)$$ Además, el coseno es $2\pi$-periódico: $\cos (x+2\pi )=\cos (x)$.

   Puntos de corte con los ejes:

   Si $x=0\Rightarrow y=f(0)=\cos (0)=1\Rightarrow (0,1)$

   Si $y=0\Rightarrow 0=f(x)=\cos (x)\Rightarrow x=\pi +\pi k\Rightarrow (\pi +\pi k,0)$ para todo $k\in \mathbb{Z}$

3. Esta función es antisimétrica respecto el eje $x=0$ ya que $$f(-x)={\displaystyle \frac{-2x}{(-x{)}^2-1}}={\displaystyle \frac{-2x}{x^{-}1}}=-f(x)$$ No presenta ningún tipo de período.

   Puntos de corte con los ejes:

   Si $x=0\Rightarrow y=f(0)=0\Rightarrow (0,0)$

   Si $y=0\Rightarrow 0=f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2-1}}\Rightarrow 0=2x\Rightarrow x=0\Rightarrow (0,0)$

4. Función claramente antisimétrica en el eje $x=0$: $$f(-x)=-x=-f(x)$$ Puntos de corte con los ejes:

   Si $x=0\Rightarrow y=f(0)=0\Rightarrow (0,0)$

   Si $y=0\Rightarrow 0=f(x)=x\Rightarrow x=0\Rightarrow (0,0)$

Solución:

1. Función par, no periódica. Cortes con los ejes en los puntos $(0,-4),(2,0),(-2,0)$.
2. Función par, periódica de período $2\pi$. Cortes con los ejes en los puntos $(0,1),(\pi +\pi k,0)$ para tot $k\in \mathbb{Z}$.
3. Función impar, sin períodos. Cortes con los ejes en los puntos $(0,0)$.
4. Función impar, sin períodos.Cortes con los ejes en los puntos $(0,0)$.

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