Exercicis de Sistemes d'equacions no lineals

Definiu l'equació d'una paràbola del tipus $y = a \cdot x^{2} + b$ , con $a > 0$ i la d'una circumferència. Trobeu els seus punts de tall, si n'hi ha.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Es defineixen, respectivament, la paràbola i la circumferència ${\begin{array}{rcl} y & = & x^{2} + 3 \\ y^{2} + x^{2} & = & 25 \end{array}$

Abans de començar a resoldre el sistema, s'analitza gràficament el sistema. Es té una circumferència centrada en l'origen i una paràbola amb el vèrtex en $x = 0$ . Així doncs, el sistema tindrà:

Cap solució, si el vèrtex de la paràbola queda per sobre o bé molt per sota de la circumferència.
Una solució, si el vèrtex és tangent al punt superior de la circumferència.
Dues solucions simètriques respecte a l'eix $y$ , si la paràbola talla la circumferència en dos punts.

Per facilitar la resolució, es practica substitució de la variable $x$ , però elevada al quadrat.

$E 1 : x^{2} = y - 3$

$E 2 : y^{2} + (y - 3)^{2} = 25 \Rightarrow 2 y^{2} - 6 y - 16 = 0 \Rightarrow y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 128}}{4}$

Per a obtenir $y > 0,$ $y_{1} = 4, 7 \Rightarrow x_{1} = 1, 3$

I per simetria de la solució: $y_{2} = 4, 7 \Rightarrow x_{2} = - 1, 3$

Solució:

${\begin{array}{rcl} y & = & x^{2} + 3 \\ y^{2} + x^{2} & = & 25 \end{array}$

$p = (4, 7; 1, 3) q = (4, 7; - 1, 3)$

Amagar desenvolupament i solució