Ejercicios de Sistemas de ecuaciones no lineales

Defina la ecuación de una parábola del tipo $y = a \cdot x^{2} + b$ , con $a > 0$ y la de una circunferencia. Encuentre sus puntos de corte, si los hay.

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Desarrollo:

Se definen, respectivamente, la parábola y la circunferencia ${\begin{array}{rcl} y & = & x^{2} + 3 \\ y^{2} + x^{2} & = & 25 \end{array}$

Antes de empezar a resolver el sistema, se analiza gráficamente el sistema. Se tiene una circunferencia centrada en el origen y una parábola con el vértice en $x = 0$ . Así pues, el sistema tendrá:

Ninguna solución, si el vértice de la la parábola queda por encima o bien muy por debajo de la circunferencia.
Una solución, si el vértice es tangente al punto superior de la circunferencia.
Dos soluciones simétricas respecto al eje y, si la parábola corta la circunferencia en dos puntos.

Para facilitar la resolución, se practica sustitución de la variable $x$ , pero elevada al cuadrado.

$E 1 : x^{2} = y - 3$

$E 2 : y^{2} + (y - 3)^{2} = 25 \Rightarrow 2 y^{2} - 6 y - 16 = 0 \Rightarrow y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 128}}{4}$

Para obtener $y > 0,$ $y_{1} = 4, 7 \Rightarrow x_{1} = 1, 3$

Y por simetría de la solución: $y_{2} = 4, 7 \Rightarrow x_{2} = - 1, 3$

Solución:

${\begin{array}{rcl} y & = & x^{2} + 3 \\ y^{2} + x^{2} & = & 25 \end{array}$

$p = (4, 7; 1, 3) q = (4, 7; - 1, 3)$

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