Ejercicios de Sistemas de ecuaciones no lineales

Defina la ecuación de una parábola del tipo $$y=a\cdot x^2+b$$, con $$a > 0$$ y la de una circunferencia. Encuentre sus puntos de corte, si los hay.

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Desarrollo:

Se definen, respectivamente, la parábola y la circunferencia $$$\left\{ \begin{array} {rcl} y & = & x^2+3 \\ y^2+x^2 &=& 25 \end{array}\right.$$$

Antes de empezar a resolver el sistema, se analiza gráficamente el sistema. Se tiene una circunferencia centrada en el origen y una parábola con el vértice en $$x=0$$. Así pues, el sistema tendrá:

  • Ninguna solución, si el vértice de la la parábola queda por encima o bien muy por debajo de la circunferencia.
  • Una solución, si el vértice es tangente al punto superior de la circunferencia.
  • Dos soluciones simétricas respecto al eje y, si la parábola corta la circunferencia en dos puntos.

Para facilitar la resolución, se practica sustitución de la variable $$x$$, pero elevada al cuadrado.

$$E1: \ x^2=y-3$$

$$E2: \ y^2+(y-3)^2=25 \Rightarrow 2y^2-6y-16=0 \Rightarrow y=\dfrac{6\pm\sqrt{36+128}}{4}$$

Para obtener $$y > 0,$$ $$$y_1=4,7 \Rightarrow x_1=1,3$$$

Y por simetría de la solución: $$$y_2=4,7 \Rightarrow x_2=-1,3$$$

Solución:

$$\left\{ \begin{array} {rcl} y & = & x^2+3 \\ y^2+x^2 &=& 25 \end{array}\right.$$

$$p=(4,7;1,3) \\ q=(4,7;-1,3)$$

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