Exercicis de Situació dels nombres irracionals sobre la recta real

Desenvolupament:

Per dibuixar l'irracional $\sqrt{7}$, descomposem el nombre $7$ com a suma de dos. Tenim diferents opcions: $7=1+6$; $7=2+5$ o bé $7=3+4$. Escollim la tercera ja que $4$ és un quadrat perfecte i ens serà més fàcil dibuixar. A continuació, dibuixem un triangle rectangle els catets del qual tinguin longitud $\sqrt{4}=2$ i $\sqrt{3}$.

Per dibuixar el catet de longitud $\sqrt{3}$ hem de començar de nou el procés:

Descomposem el nombre $3$ com a suma de dos: $3=1+2$.

Dibuixem un triangle rectangle de catets $\sqrt{1}=1$ i $\sqrt{2}$.

Dibuixar un segment de longitud $1$ no és cap problema, i el segment de longitud $\sqrt{2}$ l'obtenim amb un triangle de catets $1$.

Usant la regla de Pitàgores, tenim que la hipotenusa d'aquest triangle és: $$H^2=(\sqrt{2}{)}^2+1^2$$ $$H^2=2+1=3$$ $$H=\sqrt{3}$$

D'aquesta manera ja tenim dibuixada la longitud $\sqrt{3}$ i la podem traslladar, amb l'ajuda d'un compàs, en el triangle rectangle que estàvem dibuixant de catets $\sqrt{3}$ i $2$.

La hipotenusa $G$ d'aquest triangle mesura exactament $\sqrt{7}$: $$G^2=(\sqrt{3}{)}^2+2^2=3+4=7$$

de manera que ja tenim dibuixada la longitud $\sqrt{7}$.

Solució:

Descomposem el nombre $7$ com $7=3+4$. Per dibuixar el catet de longitud $\sqrt{3}$ descomposem $3=1+2$.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Donat el nombre $e=2,71828182846\dots$ considerant el racional obtingut per truncament en cada posició decimal obtenim la successió d'aproximació per defecte del nombre $e$:

$$2;2.7;2.71;2.718;2.7182;2.71828;2.718281;2.7182818;$$ $$2.71828182;2.718281828;2.7182818284;2.71828182846;\dots$$

Sumant una unitat en l'últim dígit de cada terme d'aquesta successió obtenim l'aproximació per excés del nombre $e$:

$$3;2.8;2.72;2.719;2.7183;2.71829;2.718282;2.7182819;$$ $$2.71828183;2.718281829;2.7182818285;2.71828182847;\dots$$

I a partir de les dues successions, podem construir la successió d'intervals encaixats que defineix al nombre $e=2,71828182846\dots$:

$$[2,3];[2.7,2.8];[2.71,2.72];[2.718,2.719];[2.7182,2.7183];[2.71828,2.71829];$$ $$[2.718281,2.718282];[2.7182818,2.7182819];[2.71828182,2.71828183];\dots$$

Solució:

Els cinc primers termes de la successió d'aproximació per defecte són: $2;2.7;2.71;2.718;2.7182$ Els cinc primers termes de la successió d'aproximació per excés són: $3;2.8;2.72;2.719;2.7183$ Els cinc primers termes de la successió d'intervals encaixats: $[2,3];[2.7,2.8];[2.71,2.72];[2.718,2.719];[2.7182,2.7183]$

Amagar desenvolupament i solució