Situació dels nombres irracionals sobre la recta real

Tant als nombres enters com als racionals se'ls pot assignar un punt de la recta, o dit en altres paraules, es poden construir segments de longitud entera o racional.

D'aquí ens sorgeix la pregunta: és possible fer el mateix amb els nombres irracionals? La resposta és afirmativa.

Donat un nombre irracional de la forma $\sqrt{a}$ podem assignar-li un punt de la recta procedint de la següent manera:

Expressem $a$ com la suma de dos nombres $b$ i $c$ : $a = b + c$ .
Construïm un triangle rectangle els catets del qual tinguin longitud $\sqrt{b}$ i $\sqrt{c}$ .
Aplicant el teorema de Pitàgores tenim que la hipotenusa d'aquest triangle té longitud $\sqrt{a}$ : $H^{2} = (\sqrt{b})^{2} + (\sqrt{c})^{2}$ $H^{2} = b + c = a$ $H = \sqrt{a}$
Traslladem amb un compàs la longitud de la hipotenusa a partir del punt $0$ , i ja tenim el punt de la recta que correspon a l'irracional $\sqrt{a}$

Simplifica el procés si en fer l'elecció dels valors $b$ i $c$ busquem que aquests siguin quadrats perfectes, és a dir que les seves arrels siguin nombres enters, ja que sinó haurem d'iterar el procés anterior per graficar $\sqrt{b}$ i $\sqrt{c}$ .

Exemple

Per assignar un punt de la recta al nombre $\sqrt{2}$ construïm un triangle rectangle isòsceles amb catets de longitud $1$ .

La hipotenusa d'aquest triangle té per longitud $H^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2 \Rightarrow H = \sqrt{2}$

Amb l'ajuda d'un compàs traslladar aquesta longitud sobre una recta fixant l'agulla del compàs en el punt del $0$ , i allà on cau l'altra punta del compàs es troba el punt de la recta corresponent al nombre irracional $\sqrt{2}$ .

La construcció ens ha de quedar com mostra la figura:

imagen

Fins aquí hem construït segments de longitud irracional utilitzant regla i compàs. Els nombres irracionals que es poden situar així en la recta s'anomenen construïbles. Hi ha però irracionals no construïbles, es tracta dels transcendents.

Per assignar un punt a un nombre irracional transcendent, cal conèixer la seva expressió decimal. A partir d'aquesta es consideren les diferents aproximacions racionals donades per truncament, és a dir, prenem successivament el racional donat per la primera xifra decimal, per les dues primeres, les tres, les quatre, ... Es tracta de les aproximacions decimals successives per defecte.

A continuació sumem una unitat a l'última xifra decimal dels nombres de la successió. Obtenim així una altra successió, és la successió d'aproximacions per excés del nombre.

Exemple

Considerem l'irracional $π = 3, 141592654 \dots$

Els racionals obtinguts truncant a $π$ , és a dir, prenent només les primeres xifres decimals són:

$3; 3, 1; 3, 14; 3, 141; 3, 1415; 3, 14159; 3, 141592; \dots (1)$

Observem que cada número d'aquesta successió és més gran que l'anterior, però tots ells són menors que $π$ . Es tracta de la successió d'aproximacions per defecte de $π$ .

Sumant la unitat a l'última xifra decimal de cada un d'ells, obtenim:

$4; 3, 2; 3, 15; 3, 142; 3, 1416; 3, 14160; 3, 141593; \dots (2)$

Tots ells nombres racionals, cada un menor que l'anterior, però tots ells grans que $π$ . Es tracta de la successió d'aproximacions per excés de $π$ .

El nombre $π$ és més gran que tots els números de (1), però més petit que tots els números de (2), així que el punt que hem de assignar a $π$ es trobi una mica més a la dreta dels racionals que formen (1), i una mica més a l'esquerra dels que formen (2).

Per continuar hem d'introduir un nou concepte: anomenarem interval a un segment de recta comprès entre dos punts, i es denota escrivint dos punts, en ordre, entre parèntesis quadrats.

L'interval comprès entre els punts $3$ i $4$ s'escriu $[3, 4]$ . I representa el segment de recta resultant d'unir ambdós punts.

Continuant amb el procés d'assignar un punt de la recta a un nombre irracional, posem sobre la recta els racionals de les successions a aproximació per excés i per defecte.

Considerem els intervals els extrems són les parelles de nombres que ocupen posicions homòlogues en les dues successions, és a dir, el primer interval serà el comprès entre el primer número de la successió per defecte i el primer número de la successió d'aproximació per excés.

El segon interval serà el comprès entre els segons termes, el tercer, entre els tercers i així successivament.

Cada un d'aquests intervals és més petit que l'anterior (és segment de recta que representa és més curt, o té menor longitud), i per expressar que cada un està contingut en l'anterior, diem que són intervals encaixats.

Si seguim el procés de dibuixar el nombre $π$ , marquem els intervals definits per ambdues successions (1) i (2), és a dir els segments amb extrems $3$ i $4$ ; $3.1$ i $3.2$ ; $3.14$ i $3.15$ ; $3.141$ i $3.142$ , $\dots$ és a dir tenim la successió d'intervals encaixats $[3, 4]; [3.1, 3.2]; [3.14, 3.15]; [3.141, 3.142]$

Observem que, en construir els intervals a partir dels decimals del nombre a dibuixar, tenim que hi ha tants intervals encaixats com decimals tingui el nombre, és a dir, infinits, ja que és un nombre irracional.

I d'altra banda, el nombre en qüestió estarà en tots els intervals, ja que els nombres de la successió d'aproximació per defecte són sempre menors i els de la successió per excés són sempre majors a l'irracional donat.

Així doncs tenim una successió d'intervals , cada un més petit que l'anterior, i que tots contenen nostre irracional. De fet, aquest irracional és l'únic nombre contingut en tots els intervals encaixats. Es diu que la successió d'intervals encaixats defineixen el nombre irracional.

Exemple

Per exemple: La successió d'intervals encaixats $[3, 4]; [3.1, 3.2]; [3.14, 3.15]; [3.141, 3.142]; [3.1415, 3.1416]; \dots$ defineix l'irracional $π = 3, 141592654 \dots$

Així doncs, si marquem aquesta successió sobre la recta, el punt d'intersecció que ens doni serà el nombre $π = 3, 141592654 \dots$

Com que no podem dibuixar una quantitat infinita d'intervals, els nombres irracionals no construïbles no poden ser representats en la recta de forma exacta, sinó que només aconseguim acotar un interval en el que es troba.

Encara que, al poder fer aquests intervals tan petits com vulguem, podem trobar una aproximació racional del nombre tan exacta com ens interessi.