Els nombres racionals corresponen a les successions de dígits amb un període. Podríem ara preguntar-nos què passa amb les expressions decimals corresponents a les seqüències de dígits sense cap periodicitat. Doncs bé, els números corresponents a aquestes expressions són els nombres irracionals.
Alguns nombres irracionals són: $$$\sqrt{2}=1,4142135623730950488 \ldots$$$ $$$\pi=3,141592653589793238462\ldots$$$ $$$e=2,71828182845904523536\ldots$$$
Podríem donar més dígits però veuríem com no hi ha cap període i per tant no són racionals.
Per comprovar si un nombre és racional o irracional la millor opció és sempre calcular els seus dígits.
Vegem que $$\sqrt{2}$$ no és racional d'una altra manera.
Suposem que $$\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$$ on $$p$$ i $$q$$ són enters sense factors en comú. Multipliquem per $$q$$ i elevem l'expressió al quadrat, obtenint $$2q^2=p^2$$.
Si fem la factorització en nombres primers veiem que a l'esquerra hi ha una quantitat senar de dosos i a la dreta un nombre parell.
Hem utilitzat que en la factorització del quadrat d'un enter tots els factors primers apareixen un nombre parell de vegades. Per tant $$\sqrt{2}$$ no és racional.
Per poder comprovar que els números $$\pi$$ i $$e$$ no són racionals cal utilitzar altres eines més complicades. La diferència és que $$\sqrt{2}$$ és un irracional construïble, mentre que $$\pi$$ i $$e$$ no ho són.