Definició de nombres irracionals

Els nombres racionals corresponen a les successions de dígits amb un període. Podríem ara preguntar-nos què passa amb les expressions decimals corresponents a les seqüències de dígits sense cap periodicitat. Doncs bé, els números corresponents a aquestes expressions són els nombres irracionals.

Podríem donar més dígits però veuríem com no hi ha cap període i per tant no són racionals.

Per comprovar si un nombre és racional o irracional la millor opció és sempre calcular els seus dígits.

Vegem que $\sqrt{2}$ no és racional d'una altra manera.

Suposem que $\sqrt{2}={\displaystyle \frac{p}{q}}$ on $p$ i $q$ són enters sense factors en comú. Multipliquem per $q$ i elevem l'expressió al quadrat, obtenint $2q^2=p^2$.

Si fem la factorització en nombres primers veiem que a l'esquerra hi ha una quantitat senar de dosos i a la dreta un nombre parell.

Hem utilitzat que en la factorització del quadrat d'un enter tots els factors primers apareixen un nombre parell de vegades. Per tant $\sqrt{2}$ no és racional.

Per poder comprovar que els números $\pi$ i $e$ no són racionals cal utilitzar altres eines més complicades. La diferència és que $\sqrt{2}$ és un irracional construïble, mentre que $\pi$ i $e$ no ho són.