Los números racionales corresponden con las sucesiones de dígitos con un periodo. Podríamos ahora preguntarnos que pasa con las expresiones decimales correspondientes a las secuencias de dígitos sin ninguna periodicidad. Los números correspondientes a estas expresiones son los números irracionales.
Algunos números irracionales son: $$$\sqrt{2}=1,4142135623730950488 \ldots$$$ $$$\pi=3,141592653589793238462\ldots$$$ $$$e=2,71828182845904523536\ldots$$$
Podríamos dar más dígitos pero veríamos como no hay ningún periodo y por tanto no son racionales.
Para comprobar si un número es racional o irracional la mejor opción no es siempre calcular sus dígitos.
Veamos que $$\sqrt{2}$$ no es racional de otro modo.
Supongamos que $$\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$$ donde $$p$$ y $$q$$ son enteros sin factores en común. Multiplicamos por $$q$$ y elevamos la expresión al cuadrado, obteniendo $$2q^2=p^2$$.
Si hacemos la factorización en números primos vemos que a la izquierda hay un número impar de doses y a la derecha un número par.
Hemos utilizado que en la factorización del cuadrado de un entero todos los factores primos aparecen un número par de veces. Por tanto $$\sqrt{2}$$ no es racional.
Para poder comprobar que los números $$\pi$$ y $$e$$ no son racionales es preciso utilizar otras herramientas más complicadas. La diferencia es que $$\sqrt{2}$$ es un irracional construïble, mientras que $$\pi$$ y $$e$$ no lo son.