Definición de números irracionales

Los números racionales corresponden con las sucesiones de dígitos con un periodo. Podríamos ahora preguntarnos que pasa con las expresiones decimales correspondientes a las secuencias de dígitos sin ninguna periodicidad. Los números correspondientes a estas expresiones son los números irracionales.

Podríamos dar más dígitos pero veríamos como no hay ningún periodo y por tanto no son racionales.

Para comprobar si un número es racional o irracional la mejor opción no es siempre calcular sus dígitos.

Veamos que $\sqrt{2}$ no es racional de otro modo.

Supongamos que $\sqrt{2}={\displaystyle \frac{p}{q}}$ donde $p$ y $q$ son enteros sin factores en común. Multiplicamos por $q$ y elevamos la expresión al cuadrado, obteniendo $2q^2=p^2$.

Si hacemos la factorización en números primos vemos que a la izquierda hay un número impar de doses y a la derecha un número par.

Hemos utilizado que en la factorización del cuadrado de un entero todos los factores primos aparecen un número par de veces. Por tanto $\sqrt{2}$ no es racional.

Para poder comprobar que los números $\pi$ y $e$ no son racionales es preciso utilizar otras herramientas más complicadas. La diferencia es que $\sqrt{2}$ es un irracional construïble, mientras que $\pi$ y $e$ no lo son.