Situación de los números irracionales sobre la recta real

Tanto a los números enteros como los racionales se les puede asignar un punto de la recta, o dicho en otras palabras se pueden construir segmentos de longitud entera o racional.

De aquí nos surge la pregunta: es posible hacer lo mismo con los números irracionales? La respuesta es afirmativa.

Dado un número irracional de la forma $\sqrt{a}$ podemos asignarle un punto de la recta procediendo de la siguiente manera:

Expresamos $a$ como la suma de dos números $b$ y $c$ : $a = b + c$ .
Construimos un triángulo rectángulo cuyos catetos tengan longitud $\sqrt{b}$ y $\sqrt{c}$ .
Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que la hipotenusa de dicho triángulo tiene longitud $\sqrt{a}$ : $H^{2} = (\sqrt{b})^{2} + (\sqrt{c})^{2}$ $H^{2} = b + c = a$ $H = \sqrt{a}$
Trasladamos con un compás la longitud de la hipotenusa a partir del punto $0$ , y ya tenemos el punto de la recta que corresponde al irracional $\sqrt{a}$

Simplificaremos el proceso si al hacer la elección de los valores $b$ y $c$ buscamos que estos sean cuadrados perfectos, es decir que sus raíces sean números enteros, ya que si no tendremos que iterar el proceso anterior para graficar $\sqrt{b}$ y $\sqrt{c}$ .

Ejemplo

Para asignar un punto de la recta al número $\sqrt{2}$ construimos un triángulo rectángulo isósceles con catetos de longitud $1$ .

La hipotenusa de dicho triángulo tiene por longitud $H^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2 \Rightarrow H = \sqrt{2}$

Con la ayuda de un compás trasladamos esta longitud sobre una recta fijando la aguja del compás en el punto del $0$ , y allí donde cae la otra punta del compás se encuentra el punto de la recta correspondiente al número irracional $\sqrt{2}$ .

La construcción nos debe quedar como muestra la figura:

imagen

Hasta aquí hemos construido segmentos de longitud irracional usando regla y compás. Los números irracionales que se pueden situar así en la recta se llaman construibles. Existen pero irracionales no construibles, se trata de los trascendentes.

Para asignar un punto a un número irracional trascendente, es necesario conocer su expresión decimal. A partir de esta se consideran la distintas aproximaciones racionales dadas por truncamiento, es decir, tomamos sucesivamente el racional dado por la primera cifra decimal, por las dos primeras, las tres, las cuatro,... Se trata de las aproximaciones decimales sucesivas por defecto.

A continuación sumamos una unidad a la ultima cifra decimal de los números de la sucesión. Obtenemos así otra sucesión, es la sucesión de aproximaciones por exceso del número.

Ejemplo

Consideremos el irracional $π = 3, 141592654 \dots$

Los racionales obtenidos truncando a $π$ , es decir, tomando solo las primeras cifras decimales son:

$3; 3, 1; 3, 14; 3, 141; 3, 1415; 3, 14159; 3, 141592; \dots (1)$

Observemos que cada número de esta sucesión es mayor que el anterior, pero todos ellos son menores que $π$ . Se trata de la sucesión de aproximaciones por defecto de $π$ .

Sumando la unidad a la última cifra decimal de cada uno de ellos, obtenemos:

$4; 3, 2; 3, 15; 3, 142; 3, 1416; 3, 14160; 3, 141593; \dots (2)$

Todos ellos números racionales, cada uno menor que el anterior, pero todos ellos mayores que $π$ . Se trata de la sucesión de aproximaciones por exceso de $π$ .

El número $π$ es más grande que todos los números de (1), pero más pequeño que todos los números de (2), así que el punto que debemos asignar a $π$ se encuentre un poco más a la derecha de los racionales que forman (1), y un poco más a la izquierda de los que forman (2).

Para continuar debemos introducir un nuevo concepto: llamaremos intervalo a un segmento de recta comprendido entre dos puntos, y se denota escribiendo ambos puntos, en orden, entre paréntesis cuadrados.

El intervalo comprendido entre los puntos $3$ y $4$ se escribe $[3, 4]$ . Y representa el segmento de recta resultante de unir ambos puntos.

Continuando con el proceso de asignar un punto de la recta a un número irracional, colocamos sobre la recta los racionales de las sucesiones a aproximación por exceso y por defecto.

Consideramos los intervalos cuyos extremos son las parejas de números que ocupan posiciones homólogas en las dos sucesiones, es decir, el primer intervalo será el comprendido entre el primer número de la sucesión por defecto y el primer número de la sucesión de aproximación por exceso.

El segundo intervalo será el comprendido entre los segundos términos, el tercer, entre los terceros y así sucesivamente.

Cada uno de estos intervalos es más pequeño que el anterior (es segmento de recta que representa es más corto, o tiene menor longitud), y para expresar que cada uno está contenido en el anterior, decimos que son intervalos encajados.

Si seguimos el proceso de dibujar el número $π$ , nos marcamos los intervalos definidos por ambas sucesiones (1) y (2), es decir los segmentos con extremos $3$ y $4$ ; $3.1$ y $3.2$ ; $3.14$ y $3.15$ ; $3.141$ y $3.142$ , $\dots$ es decir tenemos la sucesión de intervalos encajados $[3, 4]; [3.1, 3.2]; [3.14, 3.15]; [3.141, 3.142]$

Observemos que, al construir los intervalos a partir de los decimales del número a dibujar, tenemos que existen tantos intervalos encajados como decimales tenga el número, es decir, infinitos, ya que es un número irracional.

Y por otra parte, el número en cuestión estará en todos los intervalos, ya que los números de la sucesión de aproximación por defecto son siempre menores y los de la sucesión por exceso son siempre mayores al irracional dado.

Así pues tenemos una sucesión de intervalos, cada uno más pequeño que el anterior, y que todos contienen nuestro irracional. De hecho, dicho irracional es el único número contenido en todos los intervalos encajados. Se dice que la sucesión de intervalos encajados definen al número irracional.

Ejemplo

La sucesión de intervalos encajados $[3, 4]; [3.1, 3.2]; [3.14, 3.15]; [3.141, 3.142]; [3.1415, 3.1416]; \dots$ define al irracional $π = 3, 141592654 \dots$

Así pues, si marcamos dicha sucesión sobre la recta, el punto de intersección que nos dé sera el número $π = 3, 141592654 \dots$

Dado que no podemos dibujar una cantidad infinita de intervalos, los números irracionales no construïbles no pueden ser representados en la recta de forma exacta, si no que solo conseguimos acotar un intervalo en el que se encuentra.

Aunque, al poder hacer estos intervalos tan pequeños como guste, podemos encontrar una aproximación racional del número tan exacta como nos interese.