Ejercicios de Situación de los números irracionales sobre la recta real

Desarrollo:

Para dibujar el irracional $\sqrt{7}$, descomponemos el número $7$ como suma de otros dos. Tenemos distintas opciones: $7=1+6$; $7=2+5$ o bien $7=3+4$. Escogemos la tercera ya que $4$ es un cuadrado perfecto y nos va a ser más fácil dibujarlo. A continuación, dibujamos un triángulo rectángulo cuyos catetos tengan longitud $\sqrt{4}=2$ y $\sqrt{3}$.

Para dibujar el cateto de longitud $\sqrt{3}$ debemos empezar de nuevo el proceso:

Descomponemos el número $3$ como suma de otros dos: $3=1+2$.

Dibujamos un triángulo rectángulo de catetos $\sqrt{1}=1$ y $\sqrt{2}$.

Dibujar un segmento de longitud $1$ no es ningún problema, y el segmento de longitud $\sqrt{2}$ lo obtenemos con un triángulo de catetos $1$.

Usando la regla de Pitágoras, tenemos que la hipotenusa de dicho triángulo es: $$H^2=(\sqrt{2}{)}^2+1^2$$ $$H^2=2+1=3$$ $$H=\sqrt{3}$$

De esta forma ya tenemos dibujada la longitud $\sqrt{3}$ y la podemos trasladar, con la ayuda de un compás, en el triángulo rectángulo que estábamos dibujando de catetos $\sqrt{3}$ y $2$.

La hipotenusa $G$ de este triángulo mide exactamente $\sqrt{7}$: $$G^2=(\sqrt{3}{)}^2+2^2=3+4=7$$

de manera que ya tenemos dibujada la longitud $\sqrt{7}$.

Solución:

Descomponemos el número $7$ como $7=3+4$. Para dibujar el cateto de longitud $\sqrt{3}$ descomponemos $3=1+2$.

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Desarrollo:

Dado el número $e=2,71828182846\dots$ considerando el racional obtenido por truncamiento en cada posición decimal obtenemos la sucesión de aproximación por defecto del número $e$:

$$2;2.7;2.71;2.718;2.7182;2.71828;2.718281;2.7182818;$$ $$2.71828182;2.718281828;2.7182818284;2.71828182846;\dots$$

Sumando una unidad en el último dígito de cada término de esta sucesión obtenemos la aproximación por exceso del número $e$:

$$3;2.8;2.72;2.719;2.7183;2.71829;2.718282;2.7182819;$$ $$2.71828183;2.718281829;2.7182818285;2.71828182847;\dots$$

Y a partir de ambas sucesiones, podemos construir la sucesión de intervalos encajados que define al número $e=2,71828182846\dots$:

$$[2,3];[2.7,2.8];[2.71,2.72];[2.718,2.719];[2.7182,2.7183];[2.71828,2.71829];$$ $$[2.718281,2.718282];[2.7182818,2.7182819];[2.71828182,2.71828183];\dots$$

Solución:

Los cinco primeros términos de la sucesión de aproximación por defecto son: $2;2.7;2.71;2.718;2.7182$ Los cinco primeros términos de la sucesión de aproximación por exceso son: $3;2.8;2.72;2.719;2.7183$ Los cinco primeros términos de la sucesión de intervalos encajados: $[2,3];[2.7,2.8];[2.71,2.72];[2.718,2.719];[2.7182,2.7183]$

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