Exercicis de Suma de termes d'una progressió aritmètica

Desenvolupament:

Volem trobar un natural $m$ tal que la suma dels $m$ primers termes de la successió $a_n=5n+2$ ens doni exactament $6.475$, és a dir, que $S_m=\sum _{n=1}^{m}5n+2=6.475$, però sabem que:

$$S_m={\displaystyle \frac{m\cdot (a_1+a_m)}{2}}={\displaystyle \frac{m\cdot ((5+2)+(5m+2))}{2}}$$

I igualant les dues expressions, ens queda que:

$$6.475={\displaystyle \frac{m(7+5m+2)}{2}}$$

Així que només ens queda resoldre aquesta equació de segon grau:

$$5m^2+9m-12.850=0\Rightarrow m=\{\begin{array}{c}50\\ -{\displaystyle \frac{259}{5}}\end{array}$$

Sabem que $m$ ha de ser un enter positiu, i per tant ens quedem amb la solució $m=50.$

Solució:

Cal sumar els $50$ primers termes.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Volem trobar un nombre real $a_1$ tal que sigui el primer terme d'una progressió aritmètica de diferència $d=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ i tal que la suma dels $30$ primers termes és igual a $13$.

És a dir, tenim la progressió $$a_n=a_1+(n-1)(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=a_1+{\displaystyle \frac{1-n}{2}}$$ i la suma dels primers $30$ termes és igual a $13$ $$S_{3}0=\sum _{n=1}^{3}0(a_1+{\displaystyle \frac{1-n}{2}})=13$$ i d'altra banda tenim que $$S_{3}0={\displaystyle \frac{30(a_1+a_{3}0)}{2}}=15(a_1+(a_1+{\displaystyle \frac{1-30}{2}}))$$ ajuntant aquestes dues expressions, obtenim: $$15(2a_1-{\displaystyle \frac{29}{2}})=13$$

I en resoldre aquesta equació ens dóna: $$a_1={\displaystyle \frac{461}{60}}$$

Solució:

$a_1={\displaystyle \frac{461}{60}}$

Amagar desenvolupament i solució