L'objectiu és trobar una fórmula que ens permeti calcular la suma dels primers termes d'una progressió aritmètica sense necessitat de calcular.
Considerem la progressió aritmètica: $$a_n=3n-1$$. Considerem només els sis primers termes: $$$a_n=(2,5,8,11,14,17,\ldots)$$$ Els representem en una quadrícula, juntament amb ells mateixos col·locats de manera invertida:
La suma dels primers sis termes és l'àrea limitada pel polígon vermell, que per construcció, coincideix amb la del polígon blanc, i ambdues són la meitat que l'àrea del rectangle sencer.
El fet d'haver obtingut un rectangle ens reflecteix una important propietat de les progressions aritmètiques. S'observa que la base del rectangle té com a longitud la suma del primer i el sisè termes, que coincideix amb la suma del cinquè i el segon, i amb la suma del tercer i el quart, i aquests tres parells de termes, són equidistants dels extrems primer i sisè.
En general es pot dir que si es consideren $$n$$ termes d'una progressió aritmètica la suma de dos termes equidistants dels extrems coincideix amb la suma dels extrems (la suma del primer i l'últim terme coincideix amb la suma del segon i el penúltim i amb la suma del tercer i el antepenúltim, etc , per qualsevol que sigui la quantitat de termes que estiguem considerant d'una progressió aritmètica).
Tornant a la progressió anterior, si ens fixem en el rectangle i calculem la seva àrea, com ja hem vist la seva base és la suma del primer i l'últim terme: $$a_1+a_6$$, i l'altura és igual a la quantitat de números que volem sumar: $$6$$. Així l'àrea del rectangle és
$$$A_{rectangle}=(a_1+a_6)\cdot 6$$$
Per tant, la suma dels sis primers termes és: $$$S_6=\dfrac{A_{rect.}}{2}=\dfrac{6\cdot(a_1+a_6)}{2}=\dfrac{6\cdot(2+17)}{2}=57$$$
En general, la suma de $$n$$ termes d'una progressió aritmètica és el semiproducte del nombre de termes per la suma dels extrems:
$$$S_n=\dfrac{n\cdot(a_1+a_n)}{2}$$$
Volem calcular la suma dels mil primers nombres naturals múltiples de cinc.
Els primers múltiples naturals de cinc són: $$0,5,10,15,20,\ldots$$
Observem que formen una progressió aritmètica de diferència $$d=5$$ i primer terme $$a_1=0$$. Per tant, el terme que ocupa la posició mil és $$$a_{1000}=999\cdot5=4995$$$ Aplicant la fórmula de sumació obtenim que $$$S_{1000}=\dfrac{1000\cdot(0+4995)}{2}=2.477.500$$$
La suma dels $$1000$$ primers múltiples de $$5$$ és $$2.477.500$$
Per facilitar l'escriptura i simplificar la notació, per denotar la suma d'una gran quantitat de números que no podem escriure explícitament, utilitzarem la lletra grega Sigma majúscula: $$\sum$$.
A la part inferior escriurem quina variable estem sumant ia partir de quin terme, mentre que a la part superior escriurem l'últim terme a sumar. A continuació de la lletra sigma, podrem el terme general de la progressió a sumar.
En l'exemple anterior, resumirem sumar els mil primers mútiples de cinc amb: $$$S_{1000}=\sum_{n=1}^{1000} 5(n-1)$$$
I sumar els sis primers termes de la successió $$a_n=3n-1$$ ho escriurem: $$$S_{6}=\sum_{n=1}^{6} 3n-1 $$$