Progressió aritmètica: definició

Una progressió aritmètica és un tipus de successió, és a dir, una col·lecció ordenada i infinita de nombres reals, on cada terme s'obté sumant una quantitat constant a l'anterior.

Exemple

Si considerem les successions que tenen com a primers termes:

$a = (2, 5, 8, 11, 14, \dots),$

$b = (3, 1, - 1, - 3, - 5, - 7, \dots),$

$c = (1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3, \dots) .$

I, en cadascuna d'elles calculem la diferència entre cada terme i l'anterior:

En $a$ ,

$\begin{matrix} \underset{⏟}{2, 5} \\ 3 \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{5, 8} \\ 3 \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{8, 11} \\ 3 \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{11, 14} \\ 3 \end{matrix}$

En $b$ ,

$\begin{matrix} \underset{⏟}{3, 1} \\ - 2 \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{1, - 1} \\ - 2 \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{- 1, - 3} \\ - 2 \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{- 3, - 5} \\ - 2 \end{matrix}$

En $c$ ,

$\begin{matrix} \underset{⏟}{1, \frac{3}{2}} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{\frac{3}{2}, 2} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{2, \frac{5}{2}} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{\frac{5}{2}, 3} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}$

En els tres casos es troba que aquestes diferències valen sempre el mateix valor: $3$ a la primera successió, $- 2$ en la segona i $\frac{1}{2}$ a la tercera.

Dit d'una altra manera, cada terme s'obté sumant a l'anterior un mateix nombre.

Fent una definició formal, direm que una progressió aritmètica, $(a_{n})_{n \in N}$ , és una successió en què la diferència de cada terme amb l'anterior és constant, és a dir:

$a_{n + 1} - a_{n} = d$

per a qualsevol natural $n$ . Anomenarem a la constant $d$ diferència de la progressió.

Exemple

Les diferències de les progressions $a$ , $b$ i $c$ són, respectivament, $3, - 2$ i $\frac{1}{2}$