Terme general d'una progressió aritmètica

Per trobar el terme general d'una progressió aritmètica considerem la fórmula que defineix aquestes progressions: $a_{n + 1} - a_{n} = d$ .

Aquesta igualtat ens expressa que, en les progressions aritmètiques cada terme s'obté sumant la diferència a l'anterior. Així, podem definir la progressió de manera recursiva i tenim que: $a_{n + 1} = a_{n} + d$

Si apliquem aquesta llei recursivament per construir la successió, obtenim que: $a_{2} = a_{1} + d$ $a_{3} = a_{2} + d = (a_{1} + d) + d = a_{1} + 2 d$ $a_{4} = a_{3} + d = (a_{1} + 2 d) + d = a_{1} + 3 d$ $a_{5} = a_{4} + d = (a_{1} + 3 d) + d = a_{1} + 4 d$ $\dots$

I, en general tenim ens queda que $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ Aquesta expressió ens relaciona qualsevol terme de la successió amb el primer a través de la diferència de la progressió.

Exemple

Volem trobar quin nombre ocupa la posició $37$ en la successió $(8, 11, 14, 17, 20, \dots)$ Observem que es tracta d'una progressió aritmètica perquè la diferència entre tots els termes és constant i igual a $3$ .

Com el primer terme és $a_{1} = 8$ , i la diferència és $d = 3$ , ens queda que: $a_{n} = 8 + (n - 1) \cdot 3$ Com volem trobar el terme $a_{37}$ , hem de fer: $a_{37} = 8 + (37 - 1) \cdot 3 = 8 + 3 \cdot 36 = 8 + 108 = 116$