Progresiones aritméticas: definición

Una progresión aritmética es un tipo de sucesión, es decir, una colección ordenada e infinita de números reales, donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior.

Ejemplo

Si consideramos la sucesiones que tiene como primeros términos:

$a = (2, 5, 8, 11, 14, \dots),$

$b = (3, 1, - 1, - 3, - 5, - 7, \dots),$

$c = (1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3, \dots) .$

Y, en cada una de ellas calculamos la diferencia entre cada término y el anterior:

En $a$ ,

$\begin{matrix} \underset{⏟}{2, 5} \\ 3 \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{5, 8} \\ 3 \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{8, 11} \\ 3 \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{11, 14} \\ 3 \end{matrix}$

En $b$ ,

$\begin{matrix} \underset{⏟}{3, 1} \\ - 2 \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{1, - 1} \\ - 2 \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{- 1, - 3} \\ - 2 \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{- 3, - 5} \\ - 2 \end{matrix}$

En $c$ ,

$\begin{matrix} \underset{⏟}{1, \frac{3}{2}} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{\frac{3}{2}, 2} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{2, \frac{5}{2}} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underset{⏟}{\frac{5}{2}, 3} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}$

En los tres casos se encuentra que estas diferencias valen siempre el mismo valor: $3$ en la primera sucesión, $- 2$ en la segunda y $\frac{1}{2}$ en la tercera.

Dicho de otra forma, cada término se obtiene sumando a el anterior un mismo número.

Haciendo una definición formal, diremos que una progresión aritmética, $(a_{n})_{n \in N}$ , es una sucesión en que la diferencia de cada término con el anterior es constante, es decir:

$a_{n + 1} - a_{n} = d$

para a cualquier natural $n$ . Llamaremos a la constante $d$ diferencia de la progresión.

Ejemplo

Las diferencias de las progresiones $a$ , $b$ y $c$ son, respectivamente, $3, - 2$ y $\frac{1}{2}$