El objetivo es encontrar una fórmula que nos permita calcular la suma de los primeros términos de una progresión aritmética sin necesidad de calcularlos.
Consideremos la progresión aritmética: $$a_n=3n-1$$. Consideremos solamente los seis primeros términos: $$$a_n=(2,5,8,11,14,17,\ldots)$$$ Los representamos en una cuadrícula, juntamente con ellos mismos colocados de forma invertida:
La suma de los primeros seis términos es el área limitada por el polígono rojo, que por construcción, coincide con la del polígono blanco, y ambas son la mitad que el área del rectángulo entero.
El hecho de haber obtenido un rectángulo nos refleja una importante propiedad de las progresiones aritméticas. Se observa que la base del rectángulo tiene como longitud la suma del primer y el sexto términos, que coincide con la suma del quinto y el segundo, y con la suma del tercero y el cuarto; y estos tres pares de términos, son equidistantes de los extremos primero y sexto.
En general se puede decir que si se consideran $$n$$ términos de una progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes de los extremos coincide con la suma de los extremos (la suma del primero y el último término coincide con la suma del segundo y el penúltimo y con la suma del tercero y el antepenúltimo, etc, por cualquiera que sea la cantidad de términos que estemos considerando de una progresión aritmética).
Volviendo a la progresión anterior, si nos fijamos en el rectángulo y calculamos su área, como ya hemos visto su base es la suma del primero y del último término: $$a_1+a_6$$, y la altura es igual a la cantidad de números que queremos sumar: $$6$$. Así el área del rectángulo es:
$$$A_{rectángulo}=(a_1+a_6)\cdot 6$$$
Por lo tanto, la suma de los seis primeros términos es:
$$$S_6=\dfrac{A_{rect.}}{2}=\dfrac{6\cdot(a_1+a_6)}{2}=\dfrac{6\cdot(2+17)}{2}=57$$$
En general, la suma de $$n$$ términos de una progresión aritmética es el semiproducto del número de términos por la suma de los extremos:
$$$S_n=\dfrac{n\cdot(a_1+a_n)}{2}$$$
Queremos calcular la suma de los mil primeros números naturales múltiplos de cinco.
Los primeros múltiplos naturales de cinco son: $$0,5,10,15,20,\ldots$$
Observemos que forman una progresión aritmética de diferencia $$d=5$$ y primer término $$a_1=0$$. Por lo cual, el término que ocupa la posición mil es: $$$a_{1000}=999\cdot5=4995$$$ Aplicando la fórmula de sumación obtenemos que: $$$S_{1000}=\dfrac{1000\cdot(0+4995)}{2}=2.477.500$$$
La suma de los $$1000$$ primeros múltiplos de $$5$$ es $$2.477.500$$
Para facilitar la escritura y simplificar la notación, para denotar la suma de una gran cantidad de números que no podemos escribir explícitamente, utilizaremos la letra griega Sigma mayúscula: $$\sum$$.
En la parte inferior escribiremos qué variable estamos sumando y a partir de qué término, mientras que en la parte superior escribiremos el último término a sumar. A continuación de la letra sigma, podremos el término general de la progresión a sumar.
En el ejemplo anterior, resumiremos sumar los mil primeros mútiplos de cinco con: $$$S_{1000}=\sum_{n=1}^{1000} 5(n-1)$$$
Y sumar los seis primeros términos de la sucesión $$a_n=3n-1$$ lo escribiremos: $$$S_{6}=\sum_{n=1}^{6} 3n-1 $$$