Ejercicios de Suma de términos de una progresión aritmética

Desarrollo:

Queremos encontrar un número real $a_1$ tal que sea el primer término de una progresión aritmética de diferencia $d=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ y tal que la suma de los $30$ primeros términos es igual a $13$.

Es decir, tenemos la progresión $$a_n=a_1+(n-1)(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=a_1+{\displaystyle \frac{1-n}{2}}$$ y la suma de los primeros $30$ primeros términos es igual a $13$ $$S_{3}0=\sum _{n=1}^{3}0(a_1+{\displaystyle \frac{1-n}{2}})=13$$ y por otra parte tenemos que $$S_{3}0={\displaystyle \frac{30(a_1+a_{3}0)}{2}}=15(a_1+(a_1+{\displaystyle \frac{1-30}{2}}))$$ juntando estas dos expresiones, obtenemos: $$15(2a_1-{\displaystyle \frac{29}{2}})=13$$

Y al resolver esta ecuación nos da: $$a_1={\displaystyle \frac{461}{60}}$$

Solución:

$$a_1=\dfrac{461}{60}$

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Desarrollo:

Queremos encontrar un natural $m$ tal que la suma de los $m$ primeros términos de la sucesión $a_n=5n+2$ nos de exactamente $6.475$, es decir, que $S_m=\sum _{n=1}^{m}5n+2=6.475$, pero sabemos que:

$$S_m={\displaystyle \frac{m\cdot (a_1+a_m)}{2}}={\displaystyle \frac{m\cdot ((5+2)+(5m+2))}{2}}$$

Y equiparando ambas expresiones, nos queda que:

$$6.475={\displaystyle \frac{m(7+5m+2)}{2}}$$

Así que solo nos queda resolver esta ecuación de segundo grado:

$$5m^2+9m-12.850=0\Rightarrow m=\{\begin{array}{c}50\\ -{\displaystyle \frac{259}{5}}\end{array}$$

Sabemos que $m$ debe ser un entero positivo, nos quedamos con la solución $m=50.$

Solución:

Es preciso sumar los $50$ primeros términos.

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