Ejercicios de Suma de términos de una progresión aritmética

Desarrollo:

Queremos encontrar un número real $$a_1$$ tal que sea el primer término de una progresión aritmética de diferencia $$d=-\dfrac{1}{2}$$ y tal que la suma de los $$30$$ primeros términos es igual a $$13$$.

Es decir, tenemos la progresión $$$a_n=a_1+(n-1)\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)=a_1+\dfrac{1-n}{2}$$$ y la suma de los primeros $$30$$ primeros términos es igual a $$13$$ $$$S_30=\sum_{n=1}^30 \Big(a_1+\dfrac{1-n}{2}\Big) = 13$$$ y por otra parte tenemos que $$$S_30=\dfrac{30(a_1+a_30)}{2}=15\Big(a_1+\Big(a_1+\dfrac{1-30}{2}\Big)\Big)$$$ juntando estas dos expresiones, obtenemos: $$$15\Big(2a_1-\dfrac{29}{2}\Big)=13$$$

Y al resolver esta ecuación nos da: $$$a_1=\dfrac{461}{60}$$$

Solución:

$$a_1=\dfrac{461}{60}$

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Desarrollo:

Queremos encontrar un natural $$m$$ tal que la suma de los $$m$$ primeros términos de la sucesión $$a_n=5n+2$$ nos de exactamente $$6.475$$, es decir, que $$S_m=\sum_{n=1}^m 5n+2 = 6.475$$, pero sabemos que:

$$$S_m=\dfrac{m\cdot(a_1+a_m)}{2}=\dfrac{m\cdot ((5+2)+(5m+2))}{2}$$$

Y equiparando ambas expresiones, nos queda que:

$$$6.475=\dfrac{m(7+5m+2)}{2}$$$

Así que solo nos queda resolver esta ecuación de segundo grado:

$$$5m^2+9m-12.850=0 \Rightarrow m=\left\{ \begin{array}{c} 50 \\ -\dfrac{259}{5} \end{array} \right.$$$

Sabemos que $$m$$ debe ser un entero positivo, nos quedamos con la solución $$m=50.$$

Solución:

Es preciso sumar los $$50$$ primeros términos.

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