Exercicis de Teorema de Bayes

En un país hi ha una determinada malaltia que afecta una de cada $145$ persones. Tenim una prova per detectar la malaltia, però no és del tot segura: si l'individu té la malaltia, la prova dóna positiu el $96 %$ de les vegades, mentre que si no la té, la prova dóna positiu un $6 %$ de les vegades. Si una persona es fa la prova i el resultat és positiu, quina és la probabilitat que el diagnòstic sigui erroni, és a dir, que en realitat no tingui la malaltia?

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Considerem els següents esdeveniments: $E =$ "malalt", i $S = \overset{―}{E} =$ "sa". D'altra banda, $P =$ "resultat positiu en la prova", i $N = \overset{―}{P} =$ "resultat negatiu".

Podem fer un diagrama en arbre, apuntant totes les probabilitats que se'ns donen en l'enunciat, i la resta les podem deduir: per exemple, si un de cada $145$ individus està malalt, llavors vol dir que $144$ de cada $145$ estan sans. Si ens fixem, una forma de pensar automàticament és que com sempre que fem un arbre descrivim un sistema complet de successos, això vol dir que sempre que obrim branques des d'un punt, les probabilitats de les branques per la dreta han de sumar $1$ .

L'enunciat ens pregunta per $P (S / P)$ . Pel teorema de Bayes, $P (S / P) = \frac{P (S) \cdot P (P / S)}{P (S) \cdot P (P / S) + P (E) \cdot P (P / E)}$

En el nostre cas, $P (S / P) = \frac{\frac{144}{145} \cdot \frac{6}{100}}{\frac{144}{145} \cdot \frac{6}{100} + \frac{1}{145} \cdot \frac{96}{100}} = 0, 058$

O el que és el mateix, un $5, 8 %$ .

Solució:

La probabilitat és del $0, 058$ .

Amagar desenvolupament i solució