Ejercicios de Teorema de Bayes

Desarrollo:

Consideremos los siguientes sucesos: $E=$ "enfermo", y $S=\bar{E}=$ "sano". Por otro lado, $P=$ "resultado positivo en la prueba", y $N=\bar{P}=$ "resultado negativo".

Podemos hacer un diagrama en árbol, apuntando todas las probabilidades que se nos dan en el enunciado, y el resto las podemos deducir: por ejemplo, si uno de cada $145$ individuos está enfermo, entonces quiere decir que $144$ de cada $145$ están sanos. Si nos fijamos, una forma de pensarlo automáticamente es que como siempre que hacemos un árbol describimos un sistema completo de sucesos, esto quiere decir que siempre que abrimos ramas desde un punto, las probabilidades de las ramas para la derecha tienen que sumar $1$.

El enunciado nos pregunta por $P(S/P)$. Por el teorema de Bayes, $$P(S/P)={\displaystyle \frac{P(S)\cdot P(P/S)}{P(S)\cdot P(P/S)+P(E)\cdot P(P/E)}}$$

En nuestro caso, $$P(S/P)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{144}{145}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{100}}}{{\displaystyle \frac{144}{145}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{100}}+{\displaystyle \frac{1}{145}}\cdot {\displaystyle \frac{96}{100}}}}=0,058$$

O lo que es lo mismo, un $5,8\mathrm{\%}$.

Solución:

La probabilidad es del $0,058$.

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