En un país hay una determinada enfermedad que afecta a una de cada $$145$$ personas. Tenemos una prueba para detectar la enfermedad, pero no es del todo segura: si el individuo tiene la enfermedad, la prueba da positivo el $$96\%$$ de las veces, mientras que si no la tiene, la prueba da positivo un $$6\%$$ de las veces. Si una persona se hace la prueba y el resultado es positivo, ¿cuál es la probabilidad de que el diagnóstico sea erróneo, es decir, que en realidad no tenga la enfermedad?
Desarrollo:
Consideremos los siguientes sucesos: $$E =$$ "enfermo", y $$S=\overline{E}=$$ "sano". Por otro lado, $$P =$$ "resultado positivo en la prueba", y $$N=\overline{P}=$$ "resultado negativo".
Podemos hacer un diagrama en árbol, apuntando todas las probabilidades que se nos dan en el enunciado, y el resto las podemos deducir: por ejemplo, si uno de cada $$145$$ individuos está enfermo, entonces quiere decir que $$144$$ de cada $$145$$ están sanos. Si nos fijamos, una forma de pensarlo automáticamente es que como siempre que hacemos un árbol describimos un sistema completo de sucesos, esto quiere decir que siempre que abrimos ramas desde un punto, las probabilidades de las ramas para la derecha tienen que sumar $$1$$.
El enunciado nos pregunta por $$P(S/P)$$. Por el teorema de Bayes, $$$ P(S/P)=\dfrac{P(S)\cdot P(P/S)}{P(S)\cdot P(P/S)+ P(E)\cdot P(P/E)}$$$
En nuestro caso, $$$P(S/P)=\dfrac{\dfrac{144}{145}\cdot\dfrac{6}{100}}{\dfrac{144}{145} \cdot\dfrac{6}{100}+\dfrac{1}{145} \cdot\dfrac{96}{100}}= 0,058$$$
O lo que es lo mismo, un $$5,8\%$$.
Solución:
La probabilidad es del $$0,058$$.