Què són les variacions sense repetició?

Sigui $A$ un conjunt de $n$ elements. Les variacions de $n$ elements presos de $k$ en $k$ són el nombre de grups ordenats d'elements diferents de $A$ , i es representa per $V_{n, k}$ .

Per exemple,

Exemple

Prenguem el conjunt $A = {a, b, c, d, e}$ . Primer de tot, observem que, per exemple, els grups $a b c$ i $b c a$ es consideren diferents, ja que encara que tenen les mateixes lletres ( $a$ , $b$ and $c$ ) no estan en el mateix ordre. Llavors:

Les variacions sense repetició d'aquests $5$ elements presos de $1$ en $1$ són: $a$ , $b$ , $c$ , $d$ i $e$ .
Les variacions sense repetició d'aquests $5$ elements presos de $2$ en $2$ són: $a b$ , $b a$ , $a c$ , $c a$ , $a d$ , $d a$ , $a e$ , $e a$ , $b c$ , $c b$ , $b d$ , $d b$ , $b e$ , $e b$ , etc...
Les variacions sense repetició d'aquests $5$ elements presos de $3$ en $3$ són: $a b c$ , $a c b$ , $a b d$ , $a d b$ , $a b e$ , $a e b$ , $b c d$ , $c a d$ , etc...
Les variacions sense repetició d'aquests $5$ elements presos de $4$ en $4$ són: $a b c d$ , $a c b d$ , $b a c d$ , $e b a c$ , $c a e d$ , etc...
Les variacions sense repetició d'aquests $5$ elements presos de $5$ en $5$ són: $a b c d e$ , $a b c e d$ , $a c b e d$ , $a d b c e$ , $b a c e d$ , $b c d e a$ , etc...

Com es pot veure en l'exemple anterior, comptar totes les possibilitats que hi ha en cada cas pot resultar molt difícil, ja que n'hi ha moltíssimes. No obstant això, es poden calcular ràpidament mitjançant la fórmula següent: $V_{n, k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ on $n$ és el nombre d'elements que té el conjunt $A$ ,mentre que $k$ és el nombre d'elements que té el grup que es vol construir.

Recordem que $V_{n, k}$ és la quantitat de variacions sense repetició de $n$ elements presos de $k$ en $k$ .

En l'exemple anterior,

Exemple

Amb $A = {a, b, c, d, e}$ , es té $n = 5$ .

Ara, si es vol saber quantes variacions sense repetició d'aquests $5$ elements presos de $3$ en $3$ hi ha, utilitzant la fórmula es pot veure que en són $60$ : $V_{5, 3} = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot ⧸ 2 \cdot 1}{⧸ 2 \cdot 1} = 60$