Decimos que un ángulo es la abertura que hay entre dos rectas (o segmentos) que se cortan en un punto llamado vértice.
En esta figura podemos observar la abertura creada por las dos rectas (simbolizada por los puntos discontinuos) y que representaría el ángulo formado.
Tipo de ángulos
Observaremos que hay diferentes tipos de ángulos. Los definimos a continuación:
- Ángulo recto: es el ángulo formado por dos rectas dispuestas perpendicularmente.
- Ángulo agudo: es un ángulo menor que un ángulo recto.
- Ángulo llano: es el ángulo formado por dos rectas planas.
- Ángulo obtuso: es un ángulo menor que un ángulo llano pero mayor que un ángulo recto.
- Ángulo completo: es el ángulo formado por dos rectas superpuestas.
- Ángulo cóncavo: es un ángulo mayor que un ángulo obtuso pero menor que un ángulo completo.
Medida de ángulos
Los ángulos los medimos con grados y se simboliza con el signo $$^\circ$$ (por ejemplo: $$93$$ grados lo expresamos como $$93^\circ$$).
Para establecer esta medida dividimos lo que seria un ángulo completo en $$360$$ grados, y a partir de esta definición podemos saber cuanto mide un grado.
Para entenderlo mejor recordemos que un ángulo completo es el ángulo formado por dos rectas que estén superpuestas:
Un ángulo completo es un ángulo de $$360$$ grados.
Una vez establecida esta medida, podemos observar que:
- Un ángulo recto mide $$90^\circ$$.
- Un ángulo agudo mide entre $$0^\circ$$ y $$90^\circ$$.
- Un ángulo llano mide $$180^\circ$$.
- Un ángulo obtuso mide entre $$90^\circ$$ y $$180^\circ$$.
- Un ángulo completo mide $$360^\circ$$.
- Un ángulo cóncavo mide entre $$180^\circ$$ y $$360^\circ$$.
y también observamos que:
- Dos ángulos rectos forman uno llano ($$90^\circ+90^\circ = 180^\circ$$).
- Dos ángulos llanos forman uno completo ($$180^\circ+180^\circ = 360^\circ$$).
- Cuatro ángulos rectos forman uno completo ($$90^\circ+90^\circ+90^\circ+90^\circ = 360^\circ$$).
Suma de ángulos
Como podemos ver, tenemos libertad para sumar ángulos, pero, ¿qué pasa si al sumarlos superamos un ángulo de $$360$$ grados?
Pues bien, nosotros hemos definido los ángulos desde el ángulo de $$0^\circ$$ hasta el de $$360^\circ$$ y si nos fijamos, la posición relativa de dos rectas en posiciones de $$0^\circ$$ y de $$360^\circ$$ son semejantes:
Esto nos viene a decir que si al sumar dos ángulos superamos los $$360^\circ$$ podemos buscar un ángulo de entre $$0^\circ$$ y $$360^\circ$$ y que sea semejante al de la suma.
Por ejemplo,
Si sumamos un ángulo de $$90^\circ$$ más uno de $$360^\circ$$, obtenemos uno de $$450^\circ$$, que es semejante a uno de $$90^\circ$$
más
=
Metódicamente, si hacemos una suma de ángulos y supera los $$360^\circ$$, para obtener el ángulo semejante situado entre $$0^\circ$$ y $$360^\circ$$ tenemos que restar sucesivamente $$360^\circ$$ hasta encontrar un ángulo de como máximo $$360^\circ$$.
Realicemos la suma de los ángulos $$90^\circ, 180^\circ, 66^\circ, 25^\circ, 300^\circ, 21^\circ$$ y $$80^\circ$$:
$$$90^\circ+180^\circ+66^\circ+25^\circ+300^\circ+21^\circ+80^\circ = 762^\circ$$$
y ahora restemos $$360^\circ$$ sucesivamente hasta encontrar un ángulo no mayor a $$360^\circ$$:
$$$762^\circ - 360^\circ = 402^\circ$$$ $$$402^\circ - 360^\circ = 42^\circ$$$
Por consiguiente, la suma de todos los ángulos anteriores resulta un ángulo de $$42$$ grados.
Resta de ángulos
De la misma manera que hemos definido la suma de ángulos definimos la resta de ángulos.
Por ejemplo,
Un ángulo llano menos un ángulo recto resulta un ángulo recto:
menos
=
Veamos qué sucede si al restar varios ángulos obtenemos un valor negativo.
Pero de la misma manera que con la suma, el valor de un ángulo negativo es semejante al valor de un ángulo de entre $$0^\circ$$ y $$360^\circ$$ y para encontrarlo bastará con ir sumando $$360^\circ$$ hasta situarnos en el rango deseado (entre $$0^\circ$$ y $$360^\circ$$).
Realicemos la resta de los ángulos $$0^\circ, 25^\circ, 36^\circ, 152^\circ, 180^\circ, 36^\circ$$ y $$90^\circ$$:
$$$0^\circ-25^\circ-36-152^\circ-180^\circ-36^\circ-90^\circ = -519^\circ$$$
y sucesivamente, iremos sumando $$360^\circ$$ hasta llegar a un valor entre $$0^\circ$$ y $$360^\circ$$:
$$$-519^\circ + 360^\circ = -159^\circ$$$
$$$ + 360^\circ = 201^\circ$$$
Por consiguiente, la resta de todos los ángulos anteriores resulta un ángulo de $$201$$ grados.
Bisectriz de un ángulo
Diremos que la bisectriz de un ángulo formado por dos rectas es el ángulo formado por una tercera recta que divide el ángulo original en dos ángulos idénticos:
En este dibujo podemos ver que la recta roja divide el ángulo formado por las otras dos rectas por la mitad.
Para calcular el ángulo formado por la recta bisectriz, simplemente se tendrá que dividir por dos el valor del ángulo inicial.
Dado un ángulo de $$42^\circ$$ encontrar el ángulo bisectriz.
Dividimos por dos $$42$$ y encontramos que:
$$$\dfrac{42^\circ}{2}=21^\circ$$$
Por consiguiente, la recta bisectriz tiene un ángulo de $$21$$ grados.