Lo que caracteriza a un ángulo es la apertura de sus lados . Por lo tanto es natural preguntarse cómo se mide tal apertura. Para medir un ángulo lo que se hace es compararlo con otro que se toma como unidad.
La unidad de medida de ángulo más usual es el grado sexagesimal, que consiste en $$\dfrac{1}{360}$$ del ángulo completo. La medida de un ángulo en grados sexagesimales se designa mediante el símbolo $$^\circ$$.
Un ángulo de $$56^\circ$$ es aquel que tiene como apertura $$56$$ veces una apertura de un grado (la unidad).
Para hacernos una idea, un grado corresponde a la apertura siguiente:
Así, para un ángulo completo, que corresponde a una vuelta completa se tienen $$360^\circ$$ ($$360$$ grados). Es decir:
Como se puede observar en el dibujo, una vuelta completa se divide en $$360$$ partes, cada una de ellas es un grado y se designa como $$1^\circ$$. Así pues, un ángulo completo son $$360^\circ$$, un ángulo llano son $$180^\circ$$ y un ángulo recto son $$90^\circ$$. Los ángulos agudos tienen menos de $$90^\circ$$ y los obtusos más de $$90^\circ$$, pero menos de $$180^\circ$$.
En función de su amplitud, además podemos dar nombre a algunos ángulos específicos.
- Ángulos congruentes son aquellos que tienen la misma amplitud,
- Ángulos complementarios aquellos cuya suma de medidas es $$90^\circ$$,
- Ángulos suplementarios aquellos cuya suma de medidas es $$180^\circ$$,
- Ángulos conjugados aquellos cuyas medidas suman $$360^\circ$$.
Un ángulo de $$30^\circ$$ tiene como complementario un ángulo de $$60^\circ$$, como suplementario uno de $$150^\circ$$ y como conjugado uno de $$330^\circ$$.
Pero, ¿qué pasa cuando tenemos un ángulo menor que $$1^\circ$$?
Para poder hablar de ángulos que miden menos que $$1^\circ$$, se consideran submúltiplos del grado. De manera que nos ahorramos trabajar con expresiones del tipo:
- Este ángulo mide medio grado
- Este ángulo mide $$0,76$$ grados
Así pues, el grado sexagesimal tiene submúltiplos: éstos son el minuto y el segundo. El minuto se designa $$'$$ y el segundo $$′′$$.
La medida de un ángulo en grados, minutos y segundos sería, por ejemplo, $$84^\circ \ 17' \ 43 ''$$. Se leería: un ángulo de $$84$$ grados, $$17$$ minutos y $$43$$ segundos.
Veamos exactamente qué valen los minutos y los segundos.
- Un minuto es el resultado de tomar un grado y dividirlo en $$60$$ partes iguales. Es decir, matemáticamente se expresa: $$1$$ minuto $$=\displaystyle \frac{1^\circ}{60}$$ por lo tanto $$60$$ minutos $$= 1^\circ$$.
- Un segundo es el resultado de tomar un minuto y dividirlo en $$60$$ partes iguales. Es decir, matemáticamente se expresa: $$1$$ segundo $$=\displaystyle \frac{1'}{60}$$ y por lo tanto $$60$$ segundos $$= 1$$ minuto.
Con estas equivalencias veamos cuánto vale un grado en segundos:
$$$\left. \begin{array}{rcl} 1^\circ & = & 60' \\\\ 1' & = & 60'' \end{array} \right\} \Longrightarrow 1^\circ= 60 \cdot 60 ''= 3600 ''$$$
Para pasar de grados a minutos y segundos trabajaremos siempre mediante factores de conversión. Esto significa que utilizaremos el siguiente método:
Queremos escribir $$32^\circ$$ en minutos y $$21^\circ$$ en segundos.
$$$32^\circ = 32 \ \mbox{grados} \cdot \dfrac {60 \ \mbox{minutos}}{1 \ \mbox{grado}} = 32 \cdot 60 \ \mbox{minutos} = 1920 \ \mbox{minutos}$$$
Es decir, sabemos que $$60$$ minutos $$= 1^\circ$$, por lo que $$\dfrac{60 \ \mbox{minutos}}{1^\circ}=1$$ y mediante este factor de conversión pasamos de grados a minutos.
Lo mismo en el caso de segundos, sabiendo que $$60 \ \mbox{segundos}=1 \ \mbox{minuto}$$, si pasamos a dividir el término de la derecha al otro lado queda: $$\dfrac{60 \ \mbox{segundos}}{1 \ \mbox{minuto}}=1$$ que es el factor de conversión para pasar de minutos a segundos. Así,
$$$21^\circ = 21^\circ \cdot \frac{60 \ \mbox{minutos}}{1 ^\circ} \cdot \frac{60 \ \mbox{segundos}}{1 \ \mbox{minuto}} = 21 \cdot 60 \cdot 60 \ \mbox{segundos}=$$$ $$$=75.600 \ \mbox{segundos}$$$
Por último, veremos algún ejemplo que nos permita expresar cantidades dadas en segundos o minutos en grados.
Si tenemos $$460$$ segundos, entonces tenemos: $$$ 39600 \ \mbox{segundos}= 39600 \ \mbox{segundos} \dfrac{1 \ \mbox{minuto}}{60 \ \mbox{segundos}} = \dfrac {39600}{60} \ \mbox{minutos} =$$$ $$$= 660 \ \mbox{minutos} $$$
Si lo queremos expresar en grados: $$$ 39600 \ \mbox{segundos}=\dfrac {39600}{60} \ \mbox{minutos} \cdot \dfrac{1 \ \mbox{grado}}{60 \ \mbox{minutos}} = \dfrac {39600}{60·60} \ \mbox{grados} =$$$ $$$= 11 \ \mbox{grados} $$$
Midiendo ángulos dibujados
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina o el transportador de ángulos.
El más común es el transportador de ángulos que es una herramienta de dibujo que permite, además de medir, construir ángulos.
Consiste en un semicírculo graduado con el que se pueden medir ángulos de hasta $$180^\circ$$.
