El que caracteritza a un angle és l'obertura dels seus costats.Per tant és natural preguntar com es mesura tal obertura. Per mesurar un angle el que es fa és comparar-lo amb un altre que es pren com a unitat.
La unitat de mesura d'angle més usual és el grau sexagesimal, que consisteix en $$\dfrac{1}{360}$$ de l'angle complet. La mesura d'un angle en graus sexagesimals es designa amb el símbol $$^\circ$$.
Per exemple, un angle de $$56^\circ$$ és aquell que té com a obertura $$56$$ vegades una obertura d'un grau (la unitat).
Per fer-nos una idea, un grau correspon a l'obertura següent:
Així, per a un angle complet, que correspon a una volta completa que són $$360^\circ$$ ($$360$$ graus). És a dir:
Com es pot observar en el dibuix, una volta completa es divideix en $$360$$ parts, cadascuna d'elles és un grau i es designa com $$1^\circ$$. Així doncs, un angle complet són $$360^\circ$$, un angle pla són $$180^\circ$$ i un angle recte són $$90^\circ$$. Els angles aguts tenen menys de $$90^\circ$$ i els obtusos més de $$90^\circ$$, però menys de $$180^\circ$$.
En funció de la seva amplitud, a més podem donar nom a alguns angles específics.
- Angles congruents són aquells que tenen la mateixa amplitud,
- Angles complementaris aquells la suma de mesures és $$90^\circ$$,
- Angles suplementaris aquells la suma de mesures és $$180^\circ$$,
- Angles conjugats aquells tals que les mesures sumen $$360^\circ$$.
Un angle de $$30^\circ$$ té com a complementari un angle de $$60^\circ$$, com suplementari un de $$150^\circ$$ i com conjugat un de $$330^\circ$$.
Però, què passa quan tenim un angle menor que $$1^\circ$$?
Per poder parlar d'angles que mesuren menys que $$1^\circ$$, es consideren submúltiples del grau. De manera que ens estalviem treballar amb expressions del tipus:
- Aquest angle mesura mig grau
- Aquest angle mesura $$0,76$$ graus
Així doncs, el grau sexagesimal té submúltiples: aquests són el minut i el segon. El minut es designa $$'$$ i el segon $$′′$$.
La mesura d'un angle en graus, minuts i segons seria, per exemple, $$84^\circ \ 17' \ 43 ''$$. Es llegiria: un angle de $$84$$ graus, $$17$$ minuts i $$43$$ segons.
Vegem exactament què valen els minuts i els segons.
- Un minut és el resultat de prendre un grau i dividir-lo en $$60$$ parts iguals. És a dir, matemàticament s'expressa: $$1$$ minut $$=\displaystyle \frac{1^\circ}{60}$$ i per tant $$60$$ minuts $$= 1^\circ$$.
- Un segon és el resultat de prendre un minut i dividir-lo en $$60$$ parts iguals. És a dir, matemàticament s'expressa: $$1$$ segon $$=\displaystyle \frac{1'}{60}$$ i per tant $$60$$ segons $$= 1$$ minut.
Amb aquestes equivalències vegem quant val un grau en segons:
$$$\left. \begin{array}{rcl} 1^\circ & = & 60' \\\\ 1' & = & 60'' \end{array} \right\} \Longrightarrow 1^\circ= 60 \cdot 60 ''= 3600 ''$$$
Per passar de graus a minuts i segons treballarem sempre mitjançant factors de conversió. Això vol dir que utilitzarem el següent mètode:
Per exemple volem escriure $$32^\circ$$ en minuts i $$21^\circ$$ en segons.
$$$32^\circ = 32 \ \mbox{graus} \cdot \dfrac {60 \ \mbox{minuts}}{1 \ \mbox{grau}} = 32 \cdot 60 \ \mbox{minuts} = 1920 \ \mbox{minuts}$$$
És a dir, sabem que $$60$$ minuts $$= 1^\circ$$, per la qual cosa $$\dfrac{60 \ \mbox{minuts}}{1^\circ}=1$$ i mitjançant aquest factor de conversió passem de graus a minuts.
El mateix en el cas de segons, sabent que $$60 \ \mbox{segons}=1 \ \mbox{minut}$$, si passem a dividir el terme de la dreta a l'altra banda queda: $$\dfrac{60 \ \mbox{segons}}{1 \ \mbox{minut}}=1$$ que és el factor de conversió per passar de minuts a segons. Així,
$$$21^\circ = 21^\circ \cdot \frac{60 \ \mbox{minuts}}{1 ^\circ} \cdot \frac{60 \ \mbox{segons}}{1 \ \mbox{minut}} = 21 \cdot 60 \cdot 60 \ \mbox{segons}=$$$ $$$=75.600 \ \mbox{segons}$$$
Finalment, veurem algun exemple que ens permeti expressar quantitats donades en segons o minuts en graus.
Si tenim $$460$$ segons, llavors tenim: $$$ 39600 \ \mbox{segons}= 39600 \ \mbox{segons} \dfrac{1 \ \mbox{minut}}{60 \ \mbox{segons}} = \dfrac {39600}{60} \ \mbox{minuts} =$$$ $$$= 660 \ \mbox{minuts} $$$
Si ho volem expressar en graus: $$$ 39600 \ \mbox{segons}=\dfrac {39600}{60} \ \mbox{minuts} \cdot \dfrac{1 \ \mbox{grau}}{60 \ \mbox{minuts}} = \dfrac {39600}{60·60} \ \mbox{graus} =$$$ $$$= 11 \ \mbox{graus} $$$
Mesurant angles dibuixats
Els angles es poden mesurar mitjançant estris com ara el goniòmetre, el quadrant, el sextant o el transportador d'angles.
El més comú és el transportador d'angles que és una eina de dibuix que permet, a més de mesurar, construir angles.
Consisteix en un semicercle graduat amb què es poden mesurar angles de fins a $$180^\circ$$.
