Mesura d'angles en graus, minuts i segons

El que caracteritza a un angle és l'obertura dels seus costats.Per tant és natural preguntar com es mesura tal obertura. Per mesurar un angle el que es fa és comparar-lo amb un altre que es pren com a unitat.

La unitat de mesura d'angle més usual és el grau sexagesimal, que consisteix en $\frac{1}{360}$ de l'angle complet. La mesura d'un angle en graus sexagesimals es designa amb el símbol $^{\circ}$ .

Exemple

Per exemple, un angle de $56^{\circ}$ és aquell que té com a obertura $56$ vegades una obertura d'un grau (la unitat).

Per fer-nos una idea, un grau correspon a l'obertura següent:

imagen

Així, per a un angle complet, que correspon a una volta completa que són $360^{\circ}$ ( $360$ graus). És a dir:

imagen

Com es pot observar en el dibuix, una volta completa es divideix en $360$ parts, cadascuna d'elles és un grau i es designa com $1^{\circ}$ . Així doncs, un angle complet són $360^{\circ}$ , un angle pla són $180^{\circ}$ i un angle recte són $90^{\circ}$ . Els angles aguts tenen menys de $90^{\circ}$ i els obtusos més de $90^{\circ}$ , però menys de $180^{\circ}$ .

En funció de la seva amplitud, a més podem donar nom a alguns angles específics.

Angles congruents són aquells que tenen la mateixa amplitud,
Angles complementaris aquells la suma de mesures és $90^{\circ}$ ,
Angles suplementaris aquells la suma de mesures és $180^{\circ}$ ,
Angles conjugats aquells tals que les mesures sumen $360^{\circ}$ .

Exemple

Un angle de $30^{\circ}$ té com a complementari un angle de $60^{\circ}$ , com suplementari un de $150^{\circ}$ i com conjugat un de $330^{\circ}$ .

Però, què passa quan tenim un angle menor que $1^{\circ}$ ?

Per poder parlar d'angles que mesuren menys que $1^{\circ}$ , es consideren submúltiples del grau. De manera que ens estalviem treballar amb expressions del tipus:

Aquest angle mesura mig grau
Aquest angle mesura $0, 76$ graus

Així doncs, el grau sexagesimal té submúltiples: aquests són el minut i el segon. El minut es designa $^{'}$ i el segon $''$ .

Exemple

La mesura d'un angle en graus, minuts i segons seria, per exemple, $84^{\circ} 17^{'} 43^{″}$ . Es llegiria: un angle de $84$ graus, $17$ minuts i $43$ segons.

Vegem exactament què valen els minuts i els segons.

Un minut és el resultat de prendre un grau i dividir-lo en $60$ parts iguals. És a dir, matemàticament s'expressa: $1$ minut $= \frac{1^{\circ}}{60}$ i per tant $60$ minuts $= 1^{\circ}$ .
Un segon és el resultat de prendre un minut i dividir-lo en $60$ parts iguals. És a dir, matemàticament s'expressa: $1$ segon $= \frac{1^{'}}{60}$ i per tant $60$ segons $= 1$ minut.

Amb aquestes equivalències vegem quant val un grau en segons:

$\begin{array}{rcl} 1^{\circ} & = & 60^{'} \\ 1^{'} & = & 60^{″} \end{array}} ⟹ 1^{\circ} = 60 \cdot 60^{″} = 3600^{″}$

Per passar de graus a minuts i segons treballarem sempre mitjançant factors de conversió. Això vol dir que utilitzarem el següent mètode:

Exemple

Per exemple volem escriure $32^{\circ}$ en minuts i $21^{\circ}$ en segons.

$32^{\circ} = 32 graus \cdot \frac{60 minuts}{1 grau} = 32 \cdot 60 minuts = 1920 minuts$

És a dir, sabem que $60$ minuts $= 1^{\circ}$ , per la qual cosa $\frac{60 minuts}{1^{\circ}} = 1$ i mitjançant aquest factor de conversió passem de graus a minuts.

El mateix en el cas de segons, sabent que $60 segons = 1 minut$ , si passem a dividir el terme de la dreta a l'altra banda queda: $\frac{60 segons}{1 minut} = 1$ que és el factor de conversió per passar de minuts a segons. Així,

$21^{\circ} = 21^{\circ} \cdot \frac{60 minuts}{1^{\circ}} \cdot \frac{60 segons}{1 minut} = 21 \cdot 60 \cdot 60 segons =$ $= 75.600 segons$

Finalment, veurem algun exemple que ens permeti expressar quantitats donades en segons o minuts en graus.

Exemple

Si tenim $460$ segons, llavors tenim: $39600 segons = 39600 segons \frac{1 minut}{60 segons} = \frac{39600}{60} minuts =$ $= 660 minuts$

Si ho volem expressar en graus: $39600 segons = \frac{39600}{60} minuts \cdot \frac{1 grau}{60 minuts} = \frac{39600}{60 \cdot 60} graus =$ $= 11 graus$

Mesurant angles dibuixats

Els angles es poden mesurar mitjançant estris com ara el goniòmetre, el quadrant, el sextant o el transportador d'angles.

El més comú és el transportador d'angles que és una eina de dibuix que permet, a més de mesurar, construir angles.

Consisteix en un semicercle graduat amb què es poden mesurar angles de fins a $180^{\circ}$ .

imagen