Expressar temps en hores, minuts i segons
Observem ara un rellotge:
Com podem veure el rellotge és una circumferència. Les dues agulles que ens marquen les hores (el minuter i la de l'hora) estan constantment fent formes anguloses, ja que tenen un punt en comú, que a més coincideix amb el centre de la circumferència.
Donada una circumferència podem escollir que una volta sencera sigui anomenada amb $$360^\circ$$ o $$2\pi$$ radiants. En aquest cas, prendrem com a mesura els graus. Així doncs, una volta sencera són $$360^\circ$$. Però que al mateix temps correspon a una hora de rellotge. Així doncs, una volta sencera que eren $$360^\circ$$, també pot ser entesa com una hora del rellotge.
Un cop establerta aquesta mesura del temps, veiem com es treballa amb ella. Per expressar quantitats de temps que no corresponen a un nombre exacte d'hores s'utilitzen com submúltiples la seixantena part d'una hora, que es diu minut i s'escriu amb $$'$$, i la seixantena part d'un minut, que es diu segon i s'escriu $$''$$. Això vol dir que $$1h=60'$$ i $$1'=60''$$.
És a dir: $$$1 \ \mbox{hora} = 60 \ \mbox{minuts} = 60'$$$
$$$1 \ \mbox{minut} = 60 \ \mbox{segons} = 60''$$$
Si volem, doncs, expressar una hora en segons cal fer factors de conversió, és a dir escriure els canvis com
$$$1 \ \mbox{hora} = 60 \ \mbox{minuts}= 60 \ \mbox{minuts} \cdot \frac{60 \ \mbox{segons}} {1 \ \mbox{minut}}=$$$ $$$= 60 \cdot 60 \ \mbox{segons}= 3600 \ \mbox{segons}$$$
Expressem diversos valors en minuts i segons:
$$4$$ hores en minuts és: $$$ 4 \ \mbox{hores}=4 \ \mbox{hores}\cdot \frac{60 \ \mbox{minuts}}{1 \ \mbox{hora}}= 4 \cdot 60 \ \mbox{minuts} = 240 \ \mbox{minuts}$$$
Mitja hora en segons: $$$ \frac{1}{2} \ \mbox{hora}=\frac{1}{2} \ \mbox{hora}\cdot \frac{60 \ \mbox{minuts}}{1 \ \mbox{hora}} \frac{60 \ \mbox{segons}}{1 \ \mbox{minut}}= $$$ $$$=\frac{60 \cdot 60}{2} \ \mbox{segons}= 1800 \ \mbox{segons}$$$
Així doncs, quan tenim un minut i mig per exemple, escriurem $$1$$ minut i la meitat d'aquest que són $$30$$ segons, és a dir: $$1 ' 30 ''$$.
Si volem escriure $$7$$ hores i mitja doncs, escriurem $$7$$ i la mitja hora en minuts. Atès que una hora són $$60$$ minuts la meitat d'una hora seran la meitat de $$60$$ minuts que són $$30$$.
Així, set hores i mitja són $$7h 30'$$.
També podem fer el procés invers, és a dir, donat un nombre de segons determinar quin número de minuts i / o hores són.
Quants minuts són $$1.020$$ segons?
$$$ 1020 \ \mbox{segons}= 1020 \ \mbox{segons} \cdot \frac{1 \ \mbox{minut}}{60 \ \mbox{segons}}=\frac{1020}{60} \ \mbox{minuts}= 17 \ \mbox{minuts}$$$
Vegem què fer en el cas que no ens doni un resultat exacte.
Suposem que tenim $$68$$ segons.
A partir d'ara farem servir la notació estàndard de minuts $$'$$ i segons $$''$$ per agilitzar l'escriptura i també per acostumar-nos.
Usant factors de conversió ens dóna
$$$ 68''=68'' \cdot \frac{1'}{60''}=\frac{68'}{60}=1,13333'$$$
Però expressar $$68''$$ com un nombre decimal de minuts no és massa útil. El que volem fer és expressar millor per exemple com $$68'' = 60'' + 8'' = 1 ' 8 ''$$ que són un minut i vuit segons.
Per poder expressar així, s'ha de prendre la part sencera del resultat, multiplicar per $$60$$ i restar a la quantitat original.
Això és:
En el cas anterior el resultat era $$1,13333$$, agafem la part sencera que és $$1$$.
La multipliquem per $$60$$ i ens dóna $$60$$.
Ara restem aquest $$60$$ a la quantitat original que era $$68$$.
Ens dóna $$8$$.
Per tant tenim $$1 ' 8 ''$$.
Expressarem el resultat com la part sencera més la resta.
Suposem que tenim $$24355$$ segons. Expressem-ho en hores, minuts i segons:
Primer ho anem a passar a minuts
$$$ 24355'' = 24355'' \cdot \frac{1'}{60''}=\frac{24355'}{60}=405.9166'$$$
Per tant, agafem la part entera d'aquesta divisió: és $$405$$ i el multipliquem per $$60$$: $$$405\cdot 60= 24300$$$
Ara, a la quantitat original li restem aquest número, obtenint: $$$24355-24300=55 $$$
Així doncs, tenim que $$24355'' = 405 ' 55''$$
Ara hem d'expressar els $$405'$$ en hores:
Mitjançant el factor de conversió: $$$405'=405' \cdot \frac{1h}{60'}=\frac{405'}{60}=6,75h$$$
Tornem a fer el procés. Agafem la part entera que és $$6$$. La multipliquem per $$60$$ i obtenim $$6 \cdot 60=360$$. A la quantitat original li restem aquesta: $$405 '-360 ' =45$$' Així doncs, $$405 ' =6h 45'$$ Per tant $$24355'' = 6h 45 ' 55''$$
Un cop sabem expressar les quantitats en hores, minuts i segons, aprendrem a fer operacions entre elles.
Operacions amb temps en hores, minuts i segons
Sumar
Primer és convenient que ordenem, segons amb segons, minuts amb minuts, hores amb hores...
Com sabem cada minut té $$60$$ segons, llavors en sumar segons tindrem:
$$$15 \ \mbox{segons} + 10 \ \mbox{segons}= 25 \ \mbox{segons}$$$ $$$30 \ \mbox{segons} + 15 \ \mbox{segons}= 45 \ \mbox{segons}$$$
Però
$$$30 \ \mbox{segons}+ 45 \ \mbox{segons}= 75 \ \mbox{segons}$$$
En aquest cas, nosaltres sabem que $$60 \ \mbox{segons}= 1 \ \mbox{minut}$$, si apliquem això al nostre exemple anterior tenim:
$$$75 \ \mbox{segons}= 60 \ \mbox{segons}+ 15 \ \mbox{segons}$$$
que és igual a $$75 \ \mbox{segons}= 1 \ \mbox{minut}$$ and $$15 \ \mbox{segons}$$
Ara si el nombre és molt alt, per exemple 1200 segons, el millor és dividir aquest número per $$60$$ per obtenir els minuts que representen. És a dir
$$$\frac{1200}{60}={20}$$$
és a dir $$1200 \ \mbox{segons}= 20 \ \mbox{minuts}$$.
De la mateixa forma per a la relació minuts hores. Cada hora consta de $$60$$ minuts.
Si tens $$45 \ \mbox{minuts} + 25 \ \mbox{minuts}= 70 \ \mbox{minuts}$$, és el mateix que
$$$70 \ \mbox{minuts}= 60 \ \mbox{minuts}+ 10 \ \mbox{minuts}= 1 \ \mbox{hora i} \ 10 \ \mbox{minuts}$$$
En cas de tenir resultats amb decimals, vegem-ne un exemple:
$$750$$ segons, quants minuts són?
Bé prenguem $$750$$ i dividim-ho per $$60$$ $$$\frac{750}{60}=12,5$$$
$$$750 = 12 \ \mbox{minuts} + 0,5 \ \mbox{minuts}$$$
Ara, la forma més fàcil de treure els segons que representen aquests $$0,5$$ és multiplicant per $$60$$ ($$0,5$$ està en minuts i per representar de forma correcta necessitem obtenir-ho en segons):
$$0,5 \cdot 60 = 30$$ segons. Aquest procediment és el que hem explicat abans.
Finalment tenim que:
$$750$$ segons $$= 12$$ minuts i $$30$$ segons.
$$$\begin{array}{ccccc} \alpha & = & 74h & 16' & 54'' \\ \beta & = & 28h & 45' & 13'' \end{array}$$$ $$$ \alpha + \beta = (74h \ 16' \ 54'')+(28h \ 45' \ 13'')=102h \ 61' \ 67''$$$
Així, ens adonem que el que s'ha de fer un cop sumades les quantitats és revisar que si els segons sobrepassen $$60$$ els hem expressar en minuts i sumar-los als que ja tenim. I el mateix amb els minuts, que si sobrepassen de $$60$$ també haurem de passar-los a hores.
En el cas anterior tenim $$67 ''$$ que són $$1 ' 7 ''$$. Per tant reescrivim el resultat sumant un minut i deixant $$7$$ segons. $$$103h \ 62' \ 7''$$$
Però com tenim més de $$60$$ minuts, escrivim una hora més i deixem $$2$$ minuts (ja que tenim $$62 '$$). Per tant: $$103 h \ 2' \ 7''$$ és la suma d'aquestes dues quantitats.
A conseqüència d'això, ja sabem sumar expressions que vinguin en hores, minuts i segons. Només s'han de sumar les quantitats respectivament (hores amb hores, minuts amb minuts i segons amb segons) i després escriure el resultat assegurant-nos que en els segons sempre hi ha un nombre menor que $$60$$ i en els minuts també hi ha un nombre menor que $$60$$.
Restar
Què passarà amb la resta?
Procedirem de la mateixa manera, restarem la xifra de cada unitat amb la de cada unitat. L'únic problema que pot aparèixer és:
- Si la quantitat de segons a restar és major que la quantitat original de segons, el que hem de fer és:
- Restar un minut a la quantitat original de minuts.
- Augmentar la quantitat original de segons a $$60$$.
- Llavors procedirem a restar cadascuna de les quantitats.
$$$4' 11'' -2' 47''$$$ Atès que $$11$$ és menor que $$47$$, restem un minut a $$4$$ i afegim $$60$$ segons a $$11$$. La resta quedarà: $$$3' 71''-2' 47''=1' 24''$$$
Vegem un altre exemple que inclogui hores també:
$$$4h \ 23' \ 11'' - 2h \ 47' \ 27''$$$
En aquest cas $$27$$ és més gran que $$11$$ per la qual cosa restem un minut a $$23$$ que teníem i li sumem $$60$$ segons a $$11$$ que teníem: La resta ara és: $$$4h \ 22' \ 71'' - 2h \ 47' \ 27''$$$
Però ara, ens adonem que en els minuts torna a passar el mateix, que $$47$$ és major que $$22$$ minuts de l'original, de manera que li restem $$1$$ hora a l'original i li sumem $$60$$ minuts. La resta ara és:
$$$3h \ 82' \ 71'' - 2h \ 47' \ 27'' = 1h \ 35' \ 44''$$$
Multiplicar
Aprenguem a multiplicar nombres expressats en hores minuts i segons per un nombre natural.
El procediment serà multiplicar cada un dels factors (els segons, els minuts i les hores) per aquest nombre natural i després reescriure el resultat de forma correcta, és a dir amb les xifres de segons i minuts menors de $$60$$.
$$$\frac{\begin{array}{ccc} 3h & 12' & 45'' \\ & \times{} & 3 \end{array}}{\begin{array}{ccc} 9h & 36' & 135''\end{array}}$$$
Per tant passem els $$135 ''$$ a minuts: $$\dfrac{135}{60}=2,25$$ agafem la part entera i multiplicada per $$60$$ la restem a $$135$$, és a dir:
$$$135-2 \cdot 60 = 135-120=15$$$
Així, hem de sumar $$2$$ minuts als $$36$$ que ja teníem i deixar $$15''$$.
Per tant el resultat és $$9h \ 38' \ 15''$$.
Dividir
En aquest apartat aprendrem a dividir nombres expressats en hores, minuts i segons per un nombre natural.
Per dividir un temps per un nombre natural:
- Es divideixen les hores entre aquest nombre i la resta es multiplica per 60 per passar-lo a minuts. Aquests se sumen als minuts del dividend.
- Es divideixen els minuts entre el nombre i la resta es multiplica per $$60$$ per passar-lo a segons. Aquests se sumen als segons.
- Es divideixen els segons entre el nombre.
El següent exemple ens permet fer la divisió del temps $$34h \ 28 ' \ 44 ''$$ entre $$4$$.
- Pas 1 Dividim les hores entre $$4$$. $$$34 = 4 \cdot 8+2$$$
El residu és $$2$$, per tant ho multipliquem per $$60$$ i el sumem als minuts. $$$60 \cdot 2=120$$$ Els sumem a $$28$$, $$$120+28=148'$$$
- Pas 2 Dividim els minuts entre $$4$$.
$$$148=4\cdot 37 +0$$$
El residu és $$0$$, de manera que no cal sumar-li res als segons.
- Pas 3 Dividim els segons entre el número $$4$$.
Finalment escrivim el resultat: $$8h \ 37 ' \ 11''$$