Si ahora queremos determinar el área que delimitan dos funciones:
descompondremos el problema en dos partes: primero calcularemos el área delimitada por la gráfica superior con el eje y le restaremos el área delimitada por la gráfica inferior.
O sea, si la gráfica superior es $$(x,f(x))$$ y la inferior es $$(x,g(x))$$: $$$ A=\int_a^b f(x) \ dx - \int_a^b g(x) \ dx$$$
Vamos a calcular el área delimitada por las funciones $$f(x)=\sin\Big( \dfrac{\pi}{2} \Big)$$ y $$g(x)=x$$ en el intervalo $$[0,1]$$. Dibujemos la funciones para saber cual es la gráfica superior y cual la inferior:
Así, vemos que la gráfica superior es $$f(x)$$ y la inferior es $$g(x)$$. Por lo tanto el área entre las dos funciones entre $$[-1,1]$$ es:
$$$ \begin{array}{rl} A =&\int_0^1 f(x)\ dx-\int_0^1 g(x) \ dx = \int_0^1 \sin\Big(\dfrac{\pi}{2}x\Big) \ dx- \int_0^1 x \ dx \\ =& \dfrac{2}{\pi}\Big[-\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}x \Big)\Big]_0^1-\Big[\dfrac{x^2}{2}\Big]_0^1= \dfrac{2}{\pi}(0+1)-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4-\pi}{2\pi}u^2 \end{array}$$$