Definición de raíz cuadrada

Sabemos que $2 \cdot 2 = 4$ Por lo tanto sabemos que el número $2$ multiplicado por él mismo es $4$ .

En este tema se aprenderá a buscar un número que multiplicado por él mismo dé un número en concreto.

La raíz cuadrada de un número $x$ cualquiera es aquel número que multiplicado por sí mismo da $x$ . Se expresa como $\sqrt{x}$ .

Ejemplo

$\sqrt{25} = 5$ puesto que $5 \cdot 5 = 25$ . En este caso se dice que $5$ es la raíz cuadrada de $25$ .

O también $\sqrt{9} = 3$ puesto que $3 \cdot 3 = 9$ , ahora $3$ es la raíz cuadrada de $9$ .

Pero veamos ahora que pasa con $- 5$ .

Si lo multiplicamos por él mismo obtenemos: $(- 5) \cdot (- 5) = 25$ puesto que en multiplicar dos números negativos siempre da un número positivo, es decir: $(-) \cdot (-) = +$ .

Así pues, $- 5$ también es raíz cuadrada de $25$ dado que en multiplicarlo por él mismo es $25$ .

Así, se tiene que para cualquier número $x$ al que le hagamos la raíz cuadrada, obtendremos dos soluciones. La solución positiva y la solución negativa. Éstas son llamadas raíz positiva y raíz negativa respectivamente. Así, en general podemos escribir:

$\sqrt{x} = {\begin{matrix} raíz positiva = a \\ raíz negativa = - a \end{matrix} de manera que se cumple$

$a \cdot a = x, (- a) \cdot (- a) = x$

Ejemplo

Calculemos la raíz cuadrada de $36$ .

Como sabemos que $6 \cdot 6 = 36$ ya sabemos determinar cuales son las raíces cuadradas de tal número.

La raíz cuadrada positiva de $36$ es $6$ , dado que $6 \cdot 6 = 36$ .

La raíz cuadrada negativa de $36$ es $- 6$ , dado que $(- 6) \cdot (- 6) = 36$ .

Se suele escribir solo la raíz positiva y se sobreentiende que el mismo número pero en negativo también es raíz. A partir de ahora solo escribiremos la raíz positiva de un número para dar la solución a una raíz cuadrada.

Hasta ahora hemos calculado raíces cuadradas que nos daban números enteros. Cuando eso sucede se dice que el número del que calculamos la raíz es un cuadrado perfecto. Es decir, que si la raíz de un número $x$ es un entero se dice que $x$ es un cuadrado perfecto.

Ejemplo

$25$ es un cuadrado perfecto, dado que $\sqrt{25} = 5$ y $5$ es un número entero.

Y $16$ también es cuadrado perfecto porque $\sqrt{16} = 4$ ya que $4$ es el número que cumple que $4 \cdot 4 = 16$ .

Cuando hacemos la raíz cuadrada de números que no son cuadrados perfectos el resultado ya no es un entero, sino un número irracional. Esto quiere decir que es un número que no se puede escribir como el cociente de dos números enteros.

En conclusión, tenemos que la raíz cuadrada de un número entero siempre será entero o irracional.

Ejemplo

$\sqrt{2} = 1, 414213562 \dots$ que es un número irracional y tiene infinitos decimales.

La raíz cuadrada también se puede calcular de números que no sean enteros. El único requisito indispensable para calcular la raíz de un número es que éste sea positivo.

No existe la raíz cuadrada de un número negativo, puesto que por la regla de multiplicación cuando hacemos el producto de dos positivos es positivo y cuando lo hacemos de dos negativos también es positivo.

Así, no existe posibilidad de que un número multiplicado por él mismo (producto de dos números con el mismo signo) dé un resultado negativo.

En resumen, para cualquier número positivo, ya sea entero o no, se puede calcular la raíz cuadrada.

Ejemplo

$\sqrt{17, 2} = 4, 1473$ ya que si calculamos $4, 1473 \cdot 4, 1473 = 17, 2$

Estas son las raíces más frecuentes de números enteros que son cuadrados perfectos.

$\sqrt{4} = 2$ $\sqrt{36} = 6$ $\sqrt{100} = 10$

$\sqrt{9} = 3$ $\sqrt{49} = 7$ $\sqrt{121} = 11$

$\sqrt{16} = 4$ $\sqrt{64} = 8$ $\sqrt{144} = 12$

$\sqrt{25} = 5$ $\sqrt{81} = 9$ $\sqrt{169} = 13$