Definició d'arrel quadrada

Sabem que $2 \cdot 2 = 4$ Per tant, sabem que el nombre $2$ multiplicat per ell mateix és $4$ .

En aquest tema aprendrem a buscar un nombre que multiplicat per ell mateix dóna un nombre concret.

L'arrel quadrada d'un nombre $x$ qualsevol és aquell nombre que multiplicat per ell mateix és $x$ . S'expressa com a $\sqrt{x}$ .

Exemple

$\sqrt{25} = 5$ ja que $5 \cdot 5 = 25$ . En aquest cas diem que $5$ és l'arrel quadrada de $25$ .

O també $\sqrt{9} = 3$ ja que $3 \cdot 3 = 9$ , ara $3$ és l'arrel quadrada de $9$ .

Vegem ara que passa amb $- 5$ .

Si ho multipliquem per ell mateix, obtenim: $(- 5) \cdot (- 5) = 25$ ja que en multiplicar dos nombres negatius sempre ens dóna positiu, és a dir: $(-) \cdot (-) = +$ .

Així, $- 5$ també és arrel quadrada de $25$ donat que multiplicat per ell mateix dóna $25$ .

Així, tenim que per a qualsevol nombre x al que fem l'arrel quadrada, obtenim dues solucions possibles: la solució positiva i la solució negativa.

Aquestes s'anomenen arrel positiva i arrel negativa, respectivament.

En general podem escriure:

$\sqrt{x} = {\begin{matrix} arrel positiva = a \\ arrel negativa = - a \end{matrix} tal que es satisfà:$

$a \cdot a = x, (- a) \cdot (- a) = x$

Exemple

Calculem l'arrel quadrada de $36$ .

Com sabem $6 \cdot 6 = 36$ així que sabem determinar les arrels quadrades d'aquest nombre.

L'arrel quadrada positiva de $36$ és $6$ , atès que $6 \cdot 6 = 36$ .

L'arrel quadrada negativa de $36$ és $- 6$ , atès que $(- 6) \cdot (- 6) = 36$ .

Acostumem a escriure nomès l'arrel positiva i es sobreentén que el mateix nombre però en negatiu també és arrel. A partir d'ara només escriurem l'arrel positiva d'un nombre per donar la solució a una arrel quadrada.

Fins ara hem calculat arrels quadrades que ens donaven nombres enters. Quan això succeeix es diu que el nombre de què calculem l'arrel és un quadrat perfecte. És a dir, que si l'arrel d'un nombre $x$ és un enter es diu que $x$ és un quadrat perfecte.

Exemple

$25$ és un quadrat perfecte, ja que $\sqrt{25} = 5$ i $5$ és un nombre enter.

I $16$ també és quadrat perfecte perquè $\sqrt{16} = 4$ ja que $4$ és el nombre que satisfà $4 \cdot 4 = 16$ .

Quan fem l'arrel quadrada de nombres que no són quadrats perfectes el resultat ja no és un enter, sinó un nombre irracional. Això vol dir que és un nombre que no es pot escriure com el quocient de dos nombres enters.

En conclusió, tenim que l'arrel quadrada d'un nombre enter sempre serà enter o irracional.

Exemple

$\sqrt{2} = 1, 414213562 \dots$ és un nombre irracional i té infinits decimals.

L'arrel quadrada també es pot calcular de números que no siguin enters. L'únic requisit indispensable per a calcular l'arrel d'un nombre és que aquest sigui positiu.

No existeix l'arrel quadrada d'un nombre negatiu, ja que per la regla de multiplicació quan fem el producte de dos positius és positiu i quan ho fem de dos negatius també és positiu.

Així, no hi ha possibilitat que un nombre multiplicat per ell mateix (producte de dos nombres amb el mateix signe) doni un resultat negatiu.

En resum, per a qualsevol nombre positiu, ja sigui enter o no, es pot calcular l'arrel quadrada.

Exemple

$\sqrt{17, 2} = 4, 1473$ ja que si calculem $4, 1473 \cdot 4, 1473 = 17, 2$

Aquestes són les arrels més freqüents de nombres enters que són quadrats perfectes.

$\sqrt{4} = 2$ $\sqrt{36} = 6$ $\sqrt{100} = 10$

$\sqrt{9} = 3$ $\sqrt{49} = 7$ $\sqrt{121} = 11$

$\sqrt{16} = 4$ $\sqrt{64} = 8$ $\sqrt{144} = 12$

$\sqrt{25} = 5$ $\sqrt{81} = 9$ $\sqrt{169} = 13$