Elements de l'arrel quadrada
Quan resolem l'arrel quadrada amb el seu mètode de resolució usual hem de conèixer les parts en què es divideix l'arrel quadrada a mesura que es procedeix. Les parts de les que es compon són:
- Radical, és el símbol que indica que és una arrel quadrada.
- Radicand, és el número del qual s'obté l'arrel quadrada.
- Arrel, és pròpiament l'arrel quadrada del radicand.
- Línies auxiliars, ens ajudaran a resoldre l'arrel quadrada.
- Resta, és el número final del procés per a resoldre l'arrel quadrada.
Càlcul de l'arrel quadrada pas a pas
Quan es calcula l'arrel quadrada d'un nombre s'ha de ser conscient que el resultat pot no ser un nombre natural, sinó un nombre decimal. Estudiarem el càlcul de l'arrel quadrada amb solució nombres naturals.
Per calcular l'arrel quadrada d'un nombre de diverses xifres es procedeix així:
-
Es divideix el nombre en grups de dues xifres començant per la dreta.
-
Es calcula el nombre que multiplicat per ell mateix és més proper però no excedeix del primer grup de xifres de l'esquerra i així s'obté la primera xifra de l'arrel que posem a la dreta del radicand, en el primer línea auxiliar. Aleshores el quadrat d'aquesta xifra es resta del primer grup.
-
A la dreta de la resta obtingut s'escriu el segon grup i es separa la xifra de la dreta.
-
El nombre que queda a l'esquerra de la xifra separada es divideix pel doble de l'arrel obtinguda. El quocient s'escriu a la dreta del divisor i la part entera del nombre que resulta de la divisió es multiplica pel mateix quocient. Si aquest producte es pot restar del dividend seguit de la xifra separada, el quocient és la xifra de l'arrel, sinó és així es prova amb una xifra inferior.
- Es repeteixen els passos 3 i 4 fins que no quedi cap grup del radicand per baixar.
Fem aquest procediment primer amb un nombre que sigui un quadrat perfecte.
Busquem l'arrel de $$582.169$$ que és $$763$$ ja que $$763\cdot763=582.169$$.
Pas a pas, seria:
1) Es separen de $$2$$ en $$2$$ les xifres del nombre $$582169$$, és a dir: $$58 \ \ 21 \ \ 69$$. Ho escriurem així:
58.21.69 |
2) Es busca un nombre que elevat al quadrat doni proper a $$58$$, en aquest cas el nombre és $$7$$ donat que $$7\cdot7=49$$. Ho escriurem:
58.21.69 | 7 |
7·7=49 |
3) Es resta aquest resultat de $$58$$ i per tant queda: $$58-49=9$$. Es baixen les dues xifres següents que són $$21$$. I es separa l'última xifra que és $$1$$. Ho escriurem:
58.21.69 | 7 |
-49 | 7·7=49 |
92.1 |
4) Posem el doble de $$7$$ (és a dir $$14$$) en la tercera línia auxiliar i es divideix el nombre que queda a l'esquerra de la xifra separada (que era $$1$$) entre $$14$$.
En aquest cas, $$92:14$$ que dóna el nombre enter $$6$$ com a més proper. (Posem el $$6$$ al costat del $$7$$ de la primera línia.)
Restem, baixem les següents dues xifres i separem la última (ara un $$9$$). Escrit serà:
58.21.69 | 76 |
-49 | 7·7=49 |
92.1 | 7·2=14 |
-876 | 146·6=876 |
456.9 |
5) Fem el mateix que en el pas anterior. És a dir, multipliquem $$76$$ per dos (fem el doble) i es divideix el $$456$$ entre aquest doble (que és $$152$$) i que dóna $$3$$.
Quan es resten dóna zero i per tant no cal seguir.
Posem el $$3$$ en el primer línea, i ja s'ha trobat l'arrel buscada: $$763$$.
58.21.69 | 763 |
-49 | 7·7=49 |
92.1 | 7·2=14 |
-876 | 146·6=876 |
456.9 | 76·2=152 |
-4569 | 1523·3=4569 |
0 |
L'arrel quadrada de $$582.169$$ és $$763$$.
Vegem ara un exemple d'un nombre que no és un quadrat perfecte, sinó un nombre decimal:
L'arrel de $$5836,369$$
1) Es separa el número del radicand en grups de dues xifres. La separació es fa des del signe de decimal (si n'hi ha) cap a la dreta i cap a l'esquerra.
Si en el costat dels decimals no hi ha un nombre parell de xifres, és evident que queda una sola: en aquest cas, li afegim un zero.
Si en el costat dels enters ens quedés un nombre sol, es quedaria així. En el nostre cas hem d'afegir un zero al costat del $$9$$. Escrit serà:
58.36,36.90 |
2) Busquem un nombre que multiplicat per si mateix doni com a resultat el nombre que coincideixi o que més s'aproximi per sota a $$58$$. El resultat no pot ser més gran que $$58$$.
En aquest cas el nombre seria el $$7$$, perquè $$7\cdot7=49$$. Ho escrivim:
58.36,36.90 | 7 |
7·7=49 |
3) Restem $$49$$ al primer grup de dues xifres de l'arrel, que ens dóna $$9$$. Baixem les següents $$2$$ xifres, és a dir $$36$$. Ara separem la darrera xifra, el $$6$$. Ho escrivim:
58.36,36.90 | 7 |
-49 | 7·7=49 |
93.6 |
4) Posem el doble de $$7$$ (és a dir $$14$$) en la tercera línea auxiliar, i es divideix el nombre que queda a l'esquerra de la xifra separada (que era $$6$$) entre $$14$$. En aquest cas és $$93:14$$ que dóna el nombre enter $$6$$ com a més pròxim. (Posem el $$6$$ al costat del $$7$$ de la primera línia.)
Restem, baixem les dues xifres i separem l'última. En aquest cas, baixem $$36$$.
Com que aquestes estan a la dreta del punt decimal, a la primera línia, on anem escrivint l'arrel quadrada se li posa un punt decimal també. Ho escrivim:
58.36,36.90 | 76, |
-49 | 7·7=49 |
93.6 | 7·2=14 |
-876 | 146·6=876 |
603.6 |
5) Ara, fem el mateix que en el pas anterior. És a dir, multipliquem $$76$$ per dos (fem el doble) i es divideix el $$603$$ entre aquest doble (que és $$152$$) i que dóna $$3,9$$ pel que prenent la part entera, és $$3$$.
L'operació a realitzar per tant és $$1523\cdot3$$, escrivim el resultat sota de l'últim resta que teníem i fem la diferència.
Baixem després les dues xifres. També posem el $$3$$ en la primera línia. Ho escrivim:
58.36,36.90 | 76,3 |
-49 | 7·7=49 |
93.6 | 7·2=14 |
-876 | 146·6=876 |
603.6 | 76·2=152 |
-4569 | 1523·3=4569 |
1467.90 |
6) Tornem a fer el mateix. Multipliquem l'arrel que tenim escrita de moment $$(76,3)$$ per $$2$$ però ignorant el punt decimal, és a dir $$763\cdot2=1526$$.
El resultat s'afegeix a la següent línea auxiliar, i es tornen a dividir els primers quatre números del residu $$(1467)$$ entre el resultat de la multiplicació i s'obté el número $$9$$ com a primera xifra que no és zero de la divisió.
El nou es posa en la línea de l'arrel i es multiplica $$9$$ per $$15269$$, el que dóna $$137421$$ que és la xifra que hem de restar a l'últim resta que era $$146790$$ que dóna $$9369$$.
58.36,36.90 | 76,3 |
-49 | 7·7=49 |
93.6 | 7·2=14 |
-876 | 146·6=876 |
603.6 | 76·2=152 |
-4569 | 1523·3=4569 |
1467.90 | 763·2=1526 |
-137421 | 15269·9=137421 |
9369 |
En aquest moment, podem escriure que aproximadament tenim que l'arrel quadrada de $$5836,369$$ és $$76,39$$ amb un residu de $$9369$$.
L'operació anterior utilitzada com a exemple no està completa. Si la continuéssim donaria com a resultat $$76,391321$$. El procés es va repetint fins que la resta és zero. Però observem que l'arrel quadrada efectivament no és un enter, ja que $$5836,369$$ no és un quadrat perfecte.