Producte i quocient
L'arrel quadrada del producte de dos nombres és el producte de les dues arrels quadrades d'aquests números, és a dir: $$$\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}$$$
$$\sqrt{36}=\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=2\cdot3=6$$
o també
$$\sqrt{25\cdot81}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{81}=5\cdot9=45$$
L'arrel quadrada d'un quocient és el quocient de les arrels quadrades, és a dir: $$$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$$$
$$\sqrt{\dfrac{16}{4}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}}=\dfrac{4}{2}=2$$
o també
$$\sqrt{\dfrac{49}{64}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\dfrac{7}{8}$$
Aquestes dues propietats permeten facilitar el càlcul d'arrels de nombres que són producte de dos nombres que són quadrats perfectes.
Si volem calcular l'arrel de $$11.664$$, observem que $$144\cdot81=11.664$$ i aleshores podem fer-ho fàcilment.
$$\sqrt{11.664}=\sqrt{144\cdot81}=\sqrt{144}\cdot\sqrt{81}=12\cdot9=108$$
I també faciliten el càlcul d'arrels de quocients. Per exemple,
$$\sqrt{\dfrac{784}{625}}=\dfrac{\sqrt{784}}{\sqrt{625}}=\dfrac{\sqrt{16\cdot49}}{\sqrt{25\cdot25}}=\dfrac{\sqrt{16}\sqrt{49}}{\sqrt{25}\sqrt{25}}=\dfrac{4\cdot7}{5\cdot5}=\dfrac{28}{25}$$
Suma d'arrels quadrades
Hem de ser conscients que l'arrel quadrada de la suma de dos nombres no és el mateix de la suma de les arrels d'aquests nombres. És a dir, $$$\sqrt{9+4}\neq \sqrt{9}+\sqrt{4}$$$ atès que si ho calculem tenim $$$\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$$$ i d'altra banda $$$\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5$$$
Així hem obtingut que: $$\sqrt{13}=5$$ cosa que és impossible donat que $$5\cdot5$$ no és $$13$$.
Cuando se tiene una expresión del tipo: $$\sqrt{x}+\sqrt{y}$$ no podem AJUNTAR les arrels i escriure $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}$$.
El que sí que podem fer és que donada una expressió del tipus: $$a\sqrt{x}+b\sqrt{x}$$ es poden sumar (i restar també) els coeficients.
$$5\sqrt{17}-2\sqrt{17}=3\sqrt{17}$$
Vegem un altre exemple de càlcul:
Volem calcular
$$5\dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{16}}+7\sqrt{21}-\sqrt{64}+2\sqrt{21}$$
Primer, utilitzant els quadrats perfectes més comuns tenim que $$\sqrt{144}=12$$, $$\sqrt{16}=4$$, $$\sqrt{64}=8$$ i ho substituïm en la expressió que volem resoldre:
$$5\dfrac{12}{4}+7\sqrt{21}-8+2\sqrt{21}$$
Ara realitzem les sumes entre els nombres que tenen $$\sqrt{21} $$ per un costat i els que no ho tenen per l'altre:
$$\Big(5\dfrac{12}{4}-8\Big)+(7+2)\sqrt{21}$$
Que en calcular-ho dóna:
$$7+9\sqrt{21}$$