Elementos de la raíz cuadrada y algoritmo de cálculo

Hagámoslo primero con una cifra que sea un cuadrado perfecto:

Busquemos la raíz de $$582.169$$ que es $$763$$ ya que $$763\cdot763=582.169$$.

Paso a paso sería:

1) Se separan de $$2$$ en $$2$$ las cifras del número $$582169$$, es decir: $$58 \ \ 21 \ \ 69$$. Lo escribiremos así:

2) Se busca un número que elevado al cuadrado dé próximo a $$58$$, en este caso el número es $$7$$ dado que $$7\cdot7=49$$. Lo escribiremos:

3) Se resta ese resultado de $$58$$ y por lo tanto queda: $$58-49=9$$ y se bajan las dos siguientes cifras que son $$21$$. Y se separa la última cifra que es $$1$$. Lo escribimos así:

4) Ponemos el doble de $$7$$ (es decir $$14$$) en el tercer renglón auxiliar, y se divide el número que queda a la izquierda de la cifra separada (que era $$1$$) entre $$14$$.

En este caso es $$92:14$$ que da el número entero $$6$$ como el más próximo. (Ponemos el $$6$$ al lado del $$7$$ del primer renglón.)

Restamos, bajamos las siguientes dos cifras y separamos la última (ahora un $$9$$). Escrito será:

5) Hacemos lo mismo que en el paso anterior. Es decir, multiplicamos $$76$$ por dos (hacemos el doble) y se divide el $$456$$ entre ese doble (que es $$152$$) y que da $$3$$.

Cuando se restan da cero y por lo tanto no hace falta seguir.

Ponemos el $$3$$ en el primer renglón, y ya se ha encontrado la raíz buscada: $$763$$.

La raíz cuadrada de $$582.169$$ es $$763$$.

La raíz de $$5836,369$$

1) Se separa el número del radicando en grupos de dos cifras. La separación se hace desde el signo de decimal (si lo hay) hacia la derecha y hacia la izquierda.

Si en el lado de los decimales no hay un número par de cifras, es evidente que queda una suelta: en ese caso, le añadimos un cero.

Si en el lado de los enteros nos quedara un número suelto, se quedaría así. En nuestro caso debemos añadir un cero al lado del $$9$$. Escrito sería:

2) Buscamos un número que multiplicado por sí mismo de como resultado el número que coincida o que más se aproxime por debajo a $$58$$. El resultado no puede ser mayor que $$58$$.

En este caso el número sería el $$7$$, porque $$7\cdot7=49$$. Lo escribiremos:

3) Restamos $$49$$ al primer grupo de dos cifras de la raíz, que nos da $$9$$. Bajamos las siguientes $$2$$ cifras, es decir $$36$$. Ahora separamos la última cifra, el $$6$$. Lo escribiremos:

4) Ponemos el doble de $$7$$ (es decir $$14$$) en el tercer renglón auxiliar, y se divide el número que queda a la izquierda de la cifra separada (que era $$6$$) entre $$14$$. En este caso es $$93:14$$ que da el número entero $$6$$ como el más próximo. (Ponemos el $$6$$ al lado del $$7$$ del primer renglón.)

Restamos, bajamos las siguientes dos cifras y separamos la última. En este caso bajamos $$36$$.

Puesto que éstas están a la derecha del punto decimal, en el primer renglón donde vamos escribiendo la raíz cuadrada se le pone un punto decimal también. Escrito será:

5) Ahora, hacemos lo mismo que en el paso anterior. Es decir, multiplicamos $$76$$ por dos (hacemos el doble) y se divide el $$603$$ entre ese doble (que es $$152$$) y que da $$3,9$$ por lo que tomando la parte entera, es $$3$$.

La operación a realizar por lo tanto es $$1523\cdot3$$, escribimos el resultado debajo del último resto que teníamos y hacemos la diferencia.

Bajamos después las siguientes dos cifras. También ponemos el $$3$$ en el primer renglón. Escrito es:

6) Volvemos a hacer lo mismo. Multiplicamos la raíz que tenemos escrita por el momento $$(76,3)$$ por $$2$$ pero ignorando el punto decimal, es decir $$763\cdot2=1526$$.

El resultado se agrega al siguiente renglón auxiliar, y se vuelven a dividir los primeros cuatro números del residuo $$(1467)$$ entre el resultado de la multiplicación y se obtiene el número $$9$$ como primera cifra que no es cero de la división.

El nueve se pone en el renglón de la raíz y se multiplica $$9$$ por $$15269$$, lo que da $$137421$$ que es la cifra que debemos restar al último resto que era $$146790$$ que da $$9369$$.

En este momento, podemos escribir que aproximadamente se tiene que la raíz cuadrada de $$5836,369$$ es $$76,39$$ con un residuo de $$9369$$.