Ejercicios de Discontinuidad de funciones: evitable, inevitable (o de salto finito) y esencial

Desarrollo:

a) El dominio de la función es $Dom(f)=\mathbb{R}--1$ así que debemos estudiar la continuidad de la función en este intérvalo.

La función presenta problemas justamente en el punto $-1$, ya que se divide por cero, por lo que podríamos pensar que podría no ser contínua. Pero recordemos que la definición de función contínua se hace sobre puntos del dominio, así que no nos podemos plantear el concepto de continuidad o discontinuidad en este punto.

En el resto de puntos no hay problemas de definición y se cumple siempre que: $(a\ne -1)$

$${\displaystyle \begin{array}{l}\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-1}{x+1}}={\displaystyle \frac{a^2-1}{a+1}}\\ \underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-1}{x+1}}=\frac{a^2-1}{a+1}\\ f(a)=\frac{a^2-1}{a+1}\end{array}}$$ por lo que la función es contínua.

b) Debemos estudiar continuidad en el punto $x=1$, ya que en los otros es continua: $${\displaystyle \begin{array}{l}\underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}={\displaystyle \frac{1+1^{-}}{1-1^{-}}}={\displaystyle \frac{2^{-}}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}={\displaystyle \frac{1+1^{+}}{1-1^{+}}}={\displaystyle \frac{2^{+}}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }\\ f(1)=0\end{array}}$$ Por lo que tenemos una discontinuidad esencial y la función no es continua.

c) Las dos funciones componentes son continuas. Falta comprovar que conecten bien en el punto $x=3$: $${\displaystyle \begin{array}{l}\underset{x\to 3^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 3}{lim}x+1=4\\ \underset{x\to 3^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 3}{lim}x-1=2\\ f(3)=4\end{array}}$$ y como los límites laterales no coinciden y son finitos tenemos una discontinuidad inevitable (o de salto finito).

Solución:

a) Función continua

b) Función no continua. Con discontinuidad esencial en $x=1$.

c) Función no continua. Con discontinuidad inevitable en $x=3$.

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