Ejercicios de Distancia p-ádica

Desarrollo:

1. Por la definición de distancia tenemos $$$d_5\Big(3,-\dfrac{1}{8} \Big)=\Big|3-\dfrac{-1}{8}\Big|_5 = \Big|\dfrac{3\cdot8+1}{8}\Big|_5 = \Big|\dfrac{25}{8}\Big|_5$$$

   Según las notaciones anteriores tenemos que $$a=25$$ y $$b=8$$ con $$m=1$$ y $$n=8$$ y también $$r=2$$ y $$s=0$$. Entonces: $$$\Big|\dfrac{25}{8}\Big|_5=5^{s-r}=5^{0-2}=\dfrac{1}{25}$$$

   Y tenemos $$$d_5\Big(3,-\dfrac{1}{8} \Big)=\dfrac{1}{25}$$$

2. Por la definición de distancia tenemos $$$d_2 \Big(\dfrac{1}{3},\dfrac{3}{5} \Big)=\Big|\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{5}\Big|_2 = \Big|\dfrac{1\cdot5-3\cdot3}{3\cdot5}\Big|_2 = \Big|\dfrac{-4}{15}\Big|_2$$$

   Según las notaciones anteriores tenemos que $$a=-4$$ y $$b=15$$ con $$m=-1$$ y $$n=15$$ y también $$r=2$$ y $$s=0$$. Entonces: $$$\Big|\dfrac{-4}{15}\Big|_2=2^{s-r}=2^{0-2}=\dfrac{1}{4}$$$

   Por tanto $$$d_2\Big(\dfrac{1}{3},\dfrac{3}{5} \Big)=\dfrac{1}{4}$$$

3. Por la definición de distancia tenemos $$$d_{13}\Big(\dfrac{22}{17},\dfrac{1}{12} \Big)=\Big|\dfrac{22}{17}-\dfrac{1}{12}\Big|_{13} = \Big|\dfrac{12\cdot22-1\cdot17}{17\cdot12}\Big|_{13} = \Big|\dfrac{247}{204}\Big|_{13}$$$

   Según las notaciones anteriores tenemos que $$a=247$$ y $$b=204$$ con $$m=19$$ y $$n=204$$ y también $$r=1$$ y $$s=0$$. Entonces: $$$\Big|\dfrac{247}{204}\Big|_{13}=13^{s-r}=13^{0-1}=\dfrac{1}{13}$$$

   Y en consecuencia $$$d_{13}\Big(\dfrac{22}{17},\dfrac{1}{12} \Big)=\dfrac{1}{13}$$$

Solución:

1. $$d_5\Big(3,-\dfrac{1}{8} \Big)=\dfrac{1}{25}$$
2. $$d_2\Big(\dfrac{1}{3},\dfrac{3}{5} \Big)=\dfrac{1}{4}$$
3. $$d_{13}\Big(\dfrac{22}{17},\dfrac{1}{12} \Big)=\dfrac{1}{13}$$

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