Distancia p-ádica

La distancia euclídea representa el concepto más intuitivo de distancia sobre la recta real. Aun así, podemos definir otras distancias, entre números racionales, que no corresponden a ningún concepto intuitivo.

Aunque solo presentaremos las definiciones correspondientes, estas nuevas distancias son clave para obtener resultados aritméticos.

Vamos ahora a definir la norma p-ádica:

Fijamos un número primo $p$ . Para definir la norma de un número racional $\frac{a}{b} \neq 0$ debemos primero factorizar tanto $a$ como $b$ , de hecho es suficiente ver cuantas veces son divisibles por $p$ .

Supongamos entonces que $a = m \cdot p^{r}$ de manera que $p$ no divida a $m$ , y $b = n \cdot p^{s}$ con $p$ no dividiendo a $n$ .

Según estas definiciones, definimos la norma de $\frac{a}{b}$ como $p^{s - r}$ Escribiremos la norma de $\frac{a}{b}$ como $| \frac{a}{b} |_{p}$ y la llamaremos norma p-ádica.

Si $\frac{a}{b} = 0$ entonces ponemos $| \frac{a}{b} |_{p} = 0$ .

No debemos confundir la notación entre $| \frac{a}{b} |$ y $| \frac{a}{b} |_{p}$ . Cuando no pongamos subíndice siempre nos estaremos refiriendo a la norma euclídea.

También debemos tener en cuenta que cuando hablamos de normas p-ádicas, $p$ debe ser primo. Por tanto, no tiene sentido hablar, por ejemplo de la norma 4-ádica ni 6-ádica ya que ni $4$ ni $6$ son primos.

También podemos observar que para calcular $| \frac{a}{b} |_{p}$ no es necesario que $a$ y $b$ no tengan factores en común.

Como último comentario debemos recalcar que la distancia p-ádica corresponde a los números racionales y no tiene sentido para números irracionales. Por ejemplo, no podemos escribir $| \sqrt{2} |_{p}$ .

Ejemplo

Consideramos el número racional $\frac{10}{12}$ . Calculamos la norma 2-ádica.

La factorización de $10$ es $5 \cdot 2$ y la de $12$ es $3 \cdot 2^{2}$ . Según las notaciones anteriores tenemos que $a = 10$ y $b = 12$ con $m = 5$ y $n = 3$ y también $r = 1$ y $s = 2$ . Entonces, tenemos que la norma 2-ádica de $\frac{10}{12}$ es

$| \frac{10}{12} |_{2} = 2^{s - r} = 2^{2 - 1} = 2$

Aprovechamos la factorización anterior para calcular las normas 5-ádicas y 7-ádicas.

Para la norma 5-ádica tenemos, según las definiciones presentadas, $m = 2$ y $n = 12$ y también $r = 1$ y $s = 0$ . Y entonces:

$| \frac{10}{12} |_{5} = 5^{s - r} = 2^{0 - 1} = \frac{1}{5}$

Para la norma 7-ádica tenemos, según las definiciones presentadas, $m = 10$ y $n = 12$ y también $r = 0$ y $s = 0$ . Y entonces:

$| \frac{10}{12} |_{7} = 7^{s - r} = 7^{0 - 0} = 1$

La norma p-ádica, tiene las mismas propiedades que la norma euclídea y nos permite definir una distancia, la que denominamos como distancia p-ádica. Para definir esta distancia hacemos una analogía con la distancia euclídea definiendo la distancia p-ádica como: $d_{p} (a, b) = | b - a |_{p}$

Esta distancia tiene las propiedades ya comentadas para la distancia euclídea. Las recordamos:

$d_{p} (a, b) > 0$ ; y $d_{p} (a, b) = 0$ si y solo si $a = b$ .
$d_{p} (a, b) = d_{p} (b, a)$ .
$d_{p} (a, b) \leq d_{p} (a, c) + d_{p} (c, b)$

No debemos confundir la notación $d (a, b)$ y $d_{p} (a, b)$ , ya que la primera corresponde siempre a la distancia euclídea y la segunda a la distancia p-ádica, donde $p$ es un número primo.

Veamos un ejemplo donde se observa que esta distancia no mantiene el sentido intuitivo de proximidad que tiene la distancia euclídea.

Ejemplo

Consideramos la distancia 3-ádica. Elegimos, por ejemplo $b = 1$ . Vamos a ver que podemos escoger un $a$ racional de manera que $d (a, b)$ sea grande pero que $d_{3} (a, b)$ sea pequeña.

Si escogemos $a = 82$ tenemos que $d (a, b) = d (82, 1) = | 82 - 1 | = 81$

Veamos en cambio que la distancia 3-ádica es pequeña. Tenemos que $d_{3} (a, b) = d_{3} (82, 1) = | 81 |_{3}$

Factorizando obtenemos que $81 = 3^{4}$ y en consecuencia tenemos $| 81 |_{3} = 3^{- 4} = \frac{1}{81}$

Por tanto, los números $1$ y $82$ están lejos según la distancia euclídea pero cerca según la norma 3-ádica.

Del mismo modo, si elegimos $a = 1 + 3^{m}$ obtenemos que $d (a, b) = d (1 + 3^{m}, 1) = | 1 + 3^{m} - 1 | = 3^{m}$

Y por otro lado tenemos $d_{3} (a, b) = d_{3} (1 + 3^{m}, 1) = | 1 + 3^{m} - 1 |_{3} = | 3^{m} |_{3} = 3^{- m}$

Con lo que la distancia euclídea se va haciendo mayor al aumentar $m$ y en cambio la distancia 3-ádica se va haciendo cada vez menor.