Distància p-àdica

La distància euclidiana representa el concepte més intuïtiu de distància sobre la recta real. Tot i així, podem definir altres distàncies, entre nombres racionals, que no corresponen a cap concepte intuïtiu.

Encara que només presentarem les definicions corresponents, aquestes noves distàncies són clau per obtenir resultats aritmètics.

Anem ara a definir la norma p-àdica:

Fixem un nombre primer $p$ . Per definir la norma d'un nombre racional $\frac{a}{b} \neq 0$ primer hem factoritza tant $a$ com $b$ , de fet n'hi ha prou amb veure quantes vegades són divisibles per $p$ .

Suposem llavors que $a = m \cdot p^{r}$ de manera que $p$ no divideix a $m$ , i $b = n \cdot p^{s}$ amb $p$ no dividint a $n$ .

Segons aquestes definicions, definim la norma de $\frac{a}{b}$ com $p^{s - r}$ Escriurem la norma de $\frac{a}{b}$ com $| \frac{a}{b} |_{p}$ i l'anomenarem norma p-àdica.

Si $\frac{a}{b} = 0$ llavors posem $| \frac{a}{b} |_{p} = 0$ .

No hem de confondre la notació entre $| \frac{a}{b} |$ i $| \frac{a}{b} |_{p}$ . Quan no posem subíndex sempre ens estarem referint a la norma euclidiana.

També hem de tenir en compte que quan parlem de normes p-àdiques, $p$ ha de ser primer. Per tant, no té sentit parlar, per exemple de la norma 4-àdica ni 6-àdica ja que ni $4$ ni $6$ són primers.

També podem observar que per a calcular $| \frac{a}{b} |_{p}$ no cal que $a$ i $b$ no tinguin factors en comú.

Com a últim comentari hem recalcar que la distància p-àdica correspon als nombres racionals i no té sentit per nombres irracionals. Per exemple, no podem escriure $| \sqrt{2} |_{p}$ .

Exemple

Considerem el nombre racional $\frac{10}{12}$ . Calculem la norma 2-àdica.

La factorització de $10$ és $5 \cdot 2$ i la de $12$ és $3 \cdot 2^{2}$ . Segons les notacions anteriors tenim que $a = 10$ i $b = 12$ amb $m = 5$ i $n = 3$ i també $r = 1$ i $s = 2$ . Llavors, tenim que la norma 2-àdica de $\frac{10}{12}$ és

$| \frac{10}{12} |_{2} = 2^{s - r} = 2^{2 - 1} = 2$

Aprofitem la factorització anterior per calcular les normes 5-àdiques i 7-àdiques.

Per a la norma 5-àdica tenim, segons les definicions presentades, $m = 2$ i $n = 12$ i també $r = 1$ i $s = 0$ . I llavors

$| \frac{10}{12} |_{5} = 5^{s - r} = 2^{0 - 1} = \frac{1}{5}$

Per a la norma 7-àdica obtenim, segons les definicions presentades, $m = 10$ i $n = 12$ i també $r = 0$ i $s = 0$ . I llavors

$| \frac{10}{12} |_{7} = 7^{s - r} = 7^{0 - 0} = 1$

La norma p-àdica, té les mateixes propietats que la norma euclidiana i ens permet definir una distància, la que denominem com a distància p-àdica. Per definir aquesta distància fem una analogia amb la distància euclidiana definint la distància p-àdica com: $d_{p} (a, b) = | b - a |_{p}$

Aquesta distància té les propietats comentades per la distància euclidiana. Les recordem:

$d_{p} (a, b) > 0$ ; i $d_{p} (a, b) = 0$ si i només si $a = b$ .
$d_{p} (a, b) = d_{p} (b, a)$ .
$d_{p} (a, b) \leq d_{p} (a, c) + d_{p} (c, b)$

No hem de confondre la notació $d (a, b)$ i $d_{p} (a, b)$ , ja que la primera correspon sempre a la distància euclidiana i la segona a la distància p-àdica, on $p$ és un nombre primer.

Vegem un exemple on s'observa que aquesta distància no manté el sentit intuïtiu de proximitat que té la distància euclidiana.

Exemple

Considerem la distància 3-àdica. Triem, per exemple $b = 1$ . Anem a veure que podem escollir un $a$ racional de manera que $d (a, b)$ sigui gran però que $d_{3} (a, b)$ sigui petita.

Si escollim $a = 82$ tenim $d (a, b) = d (82, 1) = | 82 - 1 | = 81$

Vegem en canvi que la distància 3-àdica és petita: $d_{3} (a, b) = d_{3} (82, 1) = | 81 |_{3}$

Factoritzant obtenim que $81 = 3^{4}$ i en conseqüència tenim $| 81 |_{3} = 3^{- 4} = \frac{1}{81}$

Per tant, els números $1$ i $82$ estan lluny segons la distància euclidiana però a prop segons la norma 3-àdica.

De la mateixa manera, si triem $a = 1 + 3^{m}$ obtenim que $d (a, b) = d (1 + 3^{m}, 1) = | 1 + 3^{m} - 1 | = 3^{m}$

I d'altra banda tenim $d_{3} (a, b) = d_{3} (1 + 3^{m}, 1) = | 1 + 3^{m} - 1 |_{3} = | 3^{m} |_{3} = 3^{- m}$

Amb el que la distància euclidiana es va fent més gran en augmentar $m$ i en canvi la distància 3-àdica es va fent cada vegada menor.