Distància euclidiana

El valor absolut permet definir la distància entre dos nombres reals.

Donats dos nombres $a$ i $b$ , determinen dos punts sobre la recta real, que anomenem $A$ i $B$ . Definim la distància entre $a$ i $b$ com la longitud del segment $A B$ .

Vegem els diferents casos que es poden donar:

$0 < a < b$ : en aquest cas, ambdós números es troben a la dreta del zero. Llavors, la longitud del segment es calcula fent: $A B = 0 B - 0 A = b - a = | b - a |$

Com podem veure a la figura:

imagen

$a < b < 0$ : en aquest cas, ambdós números es troben a l'esquerra del zero. Llavors, la longitud del segment es calcula fent $A B = 0 A - 0 B = - a - (- b) = a - b = - (b - a) = | b - a |$ Gràficament:

imagen

$a < 0 < b$ : en aquest cas tenim un nombre a la dreta i un altre a l'esquerra del zero. En aquest cas la longitud del segment ens queda $A B = A 0 + 0 B = - a + b = - (b - a) = | b - a |$ O gràficament:

imagen

En general, podem dir que la distància entre dos nombres $a$ i $b$ , és el valor absolut de la seva diferència, i el denotarem amb: $d (a, b) = | b - a |$

Propietats de la distància euclidiana

Com a conseqüències de les propietats del valor absolut tenim que, donats dos nombres reals $a, b$ i $c$ , es compleix

$d (a, b) > 0$ ; i $d (a, b) = 0$ si i només si $a = b$ .
$d (a, b) = d (b, a)$ .
$d (a, b) \leq d (a, c) + d (c, b)$

Exemple

$d (3, - 2) = | - 2 - 3 | = | - 5 | = 5$

$d (- 7, - 1) = | - 1 - (- 7) | = | - 1 + 7 | = 6$

El valor absolut i la distància definits anteriorment s'anomenen norma euclidianes i distància euclidiana, respectivament. Aquestes representen el concepte més intuïtiu de distància sobre la recta real.