Distancia euclídea

El valor absoluto permite definir la distancia entre dos números reales.

Dados dos números $a$ y $b$ , determinan dos puntos sobre la recta real, que denotamos por $A$ y $B$ . Definimos la distancia entre $a$ y $b$ como la longitud del segmento $A B$ .

Veamos los distintos casos que se pueden dar:

$0 < a < b$ : en este caso, ambos números se encuentran a la derecha del cero. Entonces, la longitud del segmento se calcula haciendo $A B = 0 B - 0 A = b - a = | b - a |$

Como podemos ver en la figura:

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$a < b < 0$ : en este caso, ambos números se encuentran a la izquierda del cero. Entonces, la longitud del segmento se calcula haciendo $A B = 0 A - 0 B = - a - (- b) = a - b = - (b - a) = | b - a |$ Gráficamente:

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$a < 0 < b$ : en este caso tenemos un número a la derecha y otro a la izquierda del cero. En este caso la longitud del segmento nos queda $A B = A 0 + 0 B = - a + b = - (b - a) = | b - a |$ O gráficamente:

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En general, podemos decir que la distancia entre dos números $a$ y $b$ , es el valor absoluto de su diferencia, y lo denotaremos con: $d (a, b) = | b - a |$

Propiedades de la distancia euclídea

Como consecuencias de las propiedades del valor absoluto tenemos que, dados tres números reales $a, b$ y $c$ , se cumple

$d (a, b) > 0$ ; y $d (a, b) = 0$ si y solo si $a = b$ .
$d (a, b) = d (b, a)$ .
$d (a, b) \leq d (a, c) + d (c, b)$

Ejemplo

$d (3, - 2) = | - 2 - 3 | = | - 5 | = 5$

$d (- 7, - 1) = | - 1 - (- 7) | = | - 1 + 7 | = 6$

El valor absoluto y la distancia definidos anteriormente se denominan norma euclídeas y distancia euclídea, respectivamente. Estas representan el concepto más intuitivo de distancia sobre la recta real.