Ejercicios de Ecuación de la elipse con focos sobre el eje OX

Desarrollo:

Dado que los focos están en el eje $OX$ debemos emplear la Ecuación I de la elipse $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$

Nos falta pues, determinar el valor de los semiejes $a$ y $b$, que son el semieje mayor y el semieje menor respectivamente.

El enunciado nos dice que la elipse pasa por el punto $(3,0)$ por lo que nos está determinando cual es el momento en que la elipse corta con el eje de las $x$ ya que el valor de la $y$ en ese punto es nulo.

Así pues, en realidad nos está diciendo qué distancia hay del centro de la elipse al punto de corte entre ésta y el eje $OX$, lo que hemos definido como semieje mayor.

Por lo tanto, el valor del semieje mayor es $3$. Es decir, $a=3$.

Como también sabemos la distancia $c$ del centro al foco (que es $2$), mediante la relación $a^2=b^2+c^2$ aislamos $b$ y encontramos que: $$b=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$$ Una vez conocemos todos los parámetros de la elipse, escribimos su ecuación: $${\displaystyle \frac{x^2}{3^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{(\sqrt{5}{)}^2}}=1$$ $${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{5}}=1$$

Si queremos además calcular su excentricidad solo falta dividir $c$ entre $a$. Esto es: $$e={\displaystyle \frac{2}{3}}$$

Solución:

${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{5}}=1$, $e={\displaystyle \frac{2}{3}}$

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Desarrollo:

Si el eje menor mide $4$, se tiene que la distancia $b$ que es el semieje es $2b=4\Rightarrow b={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$. Sustituyendo en la ecuación de la elipse ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ la $b$ por el $2$ se obtiene que $a$ es: $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{2^2}}=1\text{ y pasa por el punto }(x,y)=(2,1)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow {\displaystyle \frac{2^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1^2}{2^2}}=1\Rightarrow {\displaystyle \frac{4}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}=1\Rightarrow a={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}$$ Así se tiene que la ecuación queda: $${\displaystyle \frac{x^2}{({\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}{)}^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{2^2}}=1\Rightarrow {\displaystyle \frac{3x^2}{16}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$$

Solución:

${\displaystyle \frac{3x^2}{16}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$

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