Ecuación de la elipse con focos sobre el eje OX

A partir de la definición de elipse llegaremos a su expresión analítica. Se tiene que es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Supondremos que en este caso los focos $F$ y $F^{'}$ están sobre el eje $O X$ , de forma que vienen definidos por $F^{'} = (- c, 0)$ y $F = (c, 0)$ y por lo tanto la elipse está centrada en el origen.

Así, por la definición de elipse escribiremos que cualquier punto $P$ de la elipse cumple: $\overset{―}{P F} + \overset{―}{P F^{'}} = 2 a$ donde $a$ corresponde a una constante que podemos determinar como $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

Veámoslo en el siguiente dibujo:

imagen

Desarrollemos ahora $\overset{―}{P F} + \overset{―}{P F^{'}} = 2 a$ que equivale a la expresión: $\sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = 2 a$ Así pues primero pasamos la segunda raíz al otro lado de la igualdad: $\sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 2 a - \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}}$

Elevamos ambos lados al cuadrado: $(\sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}})^{2} = (2 a - \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}})^{2}$ $(x - c)^{2} + y^{2} = 4 a^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} + (x + c)^{2} + y^{2}$ $x^{2} - 2 \cdot x \cdot c + c^{2} + y^{2} = 4 a^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} + x^{2} + 2 x c + c^{2} + y^{2}$

Ahora aislamos en un lado de la ecuación la raíz que nos queda, tenemos: $4 a \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = 4 a^{2} + 4 x c$ $a \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = \frac{4 a^{2} + 4 x c}{4} = a^{2} + c x$

Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad: $(a \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}})^{2} = (a^{2} + c x)^{2}$ $a^{2} ((x + c)^{2} + y^{2}) = a^{4} + 2 a^{2} c x + c^{2} x^{2}$ $a^{2} (x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}) = a^{4} + 2 a^{2} c x + c^{2} x^{2}$ $a^{2} x^{2} + 2 a^{2} c x + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} + 2 a^{2} c x + c^{2} x^{2}$

Recordando que existe la relación $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , tenemos: $(a^{2} - c^{2}) x^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4}$ $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} - a^{2} c^{2} = a^{2} (a^{2} - c^{2}) = a^{2} b^{2}$

Ahora dividimos ambos lados de la expresión por el factor $a^{2} b^{2}$ y resulta: $\frac{b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{a^{2} b^{2}} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}}$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ Esta última expresión es la ecuación de la elipse que queríamos encontrar.

Ejemplo

Tenemos la expresión $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ Esto corresponde a una elipse centrada en el origen de la cual calculamos los semiejes de la siguiente forma: $a^{2} = 25 \Rightarrow a = \sqrt{25} = 5$ $b^{2} = 4 \Rightarrow b = \sqrt{4} = 2$

¿Cuanto valen los semiejes de la elipse $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ ?

Igualando los denominadores a los cuadrados de dichas longitudes obtenemos: $a = \sqrt{3} b = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

Ahora vamos a trabajar un poco con esta ecuación.

Ejemplo

Vamos a hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: $F^{'} (- 3, 0)$ y $F (3, 0)$ , y tal que su eje mayor mide $10$ .

imagen

Dado que el eje mayor mide $10$ sabemos que el semieje mayor será la mitad.

Así obtenemos: $2 a = 10 \Rightarrow a = 5$ .

Dado que sabemos que los focos son los puntos $F^{'} (- 3, 0)$ y $F (3, 0)$ , la distancia entre ellos es $6$ .

Por lo tanto: $2 c = 6 \Rightarrow c = 3$ .

Dado que conocemos la relación $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , aislando la $b$ de dicha ecuación obtenemos: $b^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow b = 4$

Ahora pues, dado que ya conocemos los semiejes mayor y menor, cogemos la ecuación de la elipse y le sustituimos los valores, obteniendo así la ecuación de ésta elipse. $\frac{x^{2}}{5^{2}} + \frac{y^{2}}{4^{2}} = 1$ Por último, podemos calcular la excentricidad que es $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$