A partir de la definició d'el·lipse arribarem a la seva expressió analítica. L'el·lipse és el lloc geomètric dels punts del pla per als quals és constant la suma de les distàncies a dos punts interiors fixos anomenats focus.
Suposarem que en aquest cas els focus $$F$$ i $$F'$$ es sobre l'eix $$OX$$, de manera que vénen definits per $$F'=(-c,0)$$ i $$F=(c,0)$$ i per tant l'el·lipse està centrada en l'origen.
Així, per la definició d' el·lipse escriurem que qualsevol punt $$P$$ de l'el·lipse compleix: $$$\displaystyle \overline{PF}+\overline{PF'}=2a$$$ on $$a$$ correspon a una constant que podem determinar com: $$a^2=b^2+c^2$$.
Vegem-ho en el següent dibuix:
Desenvolupem ara $$$\displaystyle \overline{PF}+\overline{PF'}=2a$$$ que equival a l'expressió: $$$\displaystyle \sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$$ Així doncs primer passem la segona arrel a l'altre costat de la igualtat: $$$\displaystyle \sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}$$$
Elevem banda i banda al quadrat: $$$ \Big( \sqrt{(x-c)^2+y^2} \Big)^2=\Big( 2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2} \Big)^2$$$ $$$ (x-c)^2+y^2=4a^2-2 \cdot 2a \cdot \sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2$$$ $$$x^2-2\cdot x \cdot c+c^2+y^2=4a^2-2 \cdot 2a\cdot \sqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2xc+c^2+y^2$$$
Ara aïllem en un costat de l'equació l'arrel que ens queda, tenim: $$$4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2 +4xc$$$ $$$\displaystyle a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\frac{4a^2+4xc}{4}=a^2+cx$$$
Elevem al quadrat els dos costats de la igualtat: $$$\Big(a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\Big)^2=(a^2+cx)^2 $$$ $$$ a^2((x+c)^2+y^2)= a^4+2a^2cx+c^2x^2$$$ $$$a^2(x^2+2cx+c^2+y^2)=a^4+2a^2cx+c^2x^2 $$$ $$$ a^2x^2+2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2=a^4+2a^2cx+c^2x^2$$$
Recordant que hi ha la relació $$a^2=b^2+c^2$$, tenim: $$$(a^2-c^2)x^2+a^2c^2+a^2y^2=a^4$$$ $$$b^2x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2=a^2(a^2-c^2)=a^2b^2 $$$
Ara dividim els dos costats de l'expressió pel factor $$a^2b^2$$ i resulta: $$$\displaystyle \frac{b^2x^2+a^2y^2}{a^2b^2}=\frac{a^2b^2}{a^2b^2} $$$ $$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$$ Aquesta última expressió és l'equació de l'el·lipse que volíem trobar.
Si ens donen l'expressió $$$\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$$$ Això correspon a una el·lipse centrada en l'origen de la qual calculem els semieixos de la següent manera: $$$a^2=25 \Rightarrow a=\sqrt{25}=5$$$ $$$b^2=4 \Rightarrow b=\sqrt{4}=2$$$
Quan valen els semieixos de l'el·lipse $$\displaystyle \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{8}=1$$?
Igualant els denominadors als quadrats d'aquestes longituds obtenim: $$$a=\sqrt{3} \\ b=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$$
Ara anem a treballar una mica amb aquesta equació.
Anem a trobar els elements característics i l'equació reduïda de l'el·lipse de focus: $$F' (-3,0)$$ i $$F (3, 0)$$, i tal que el seu eix major mesura $$10$$.
Atès que l'eix major mesura $$10$$ sabem que el semieix major serà la meitat.
Així obtenim: $$2a=10 \Rightarrow a=5$$.
Com que sabem que els focus són els punts $$F' (-3,0)$$ i $$F (3, 0)$$, la distància entre ells és $$6$$.
Per tant: $$2c=6 \Rightarrow c=3$$.
Atès que coneixem la relació $$a^2=b^2+c^2$$, aïllant la $$b$$ d'aquesta equació obtenim: $$$b^2=5^2-3^2=25-9=16 \Rightarrow b=4$$$
Ara, doncs, atès que ja coneixem els semieixos major i menor, agafem l'equació de l'el·lipse i li substituïm els valors, obtenint així l'equació d'aquesta el·lipse. $$$\displaystyle \frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$$$ Finalment, podem calcular l'excentricitat que és $$$\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$$$