Equació de l'el·lipse amb focus sobre l'eix OX

A partir de la definició d'el·lipse arribarem a la seva expressió analítica. L'el·lipse és el lloc geomètric dels punts del pla per als quals és constant la suma de les distàncies a dos punts interiors fixos anomenats focus.

Suposarem que en aquest cas els focus $F$ i $F^{'}$ es sobre l'eix $O X$ , de manera que vénen definits per $F^{'} = (- c, 0)$ i $F = (c, 0)$ i per tant l'el·lipse està centrada en l'origen.

Així, per la definició d' el·lipse escriurem que qualsevol punt $P$ de l'el·lipse compleix: $\overset{―}{P F} + \overset{―}{P F^{'}} = 2 a$ on $a$ correspon a una constant que podem determinar com: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

Vegem-ho en el següent dibuix:

imagen

Desenvolupem ara $\overset{―}{P F} + \overset{―}{P F^{'}} = 2 a$ que equival a l'expressió: $\sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = 2 a$ Així doncs primer passem la segona arrel a l'altre costat de la igualtat: $\sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 2 a - \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}}$

Elevem banda i banda al quadrat: $(\sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}})^{2} = (2 a - \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}})^{2}$ $(x - c)^{2} + y^{2} = 4 a^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} + (x + c)^{2} + y^{2}$ $x^{2} - 2 \cdot x \cdot c + c^{2} + y^{2} = 4 a^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} + x^{2} + 2 x c + c^{2} + y^{2}$

Ara aïllem en un costat de l'equació l'arrel que ens queda, tenim: $4 a \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = 4 a^{2} + 4 x c$ $a \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = \frac{4 a^{2} + 4 x c}{4} = a^{2} + c x$

Elevem al quadrat els dos costats de la igualtat: $(a \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}})^{2} = (a^{2} + c x)^{2}$ $a^{2} ((x + c)^{2} + y^{2}) = a^{4} + 2 a^{2} c x + c^{2} x^{2}$ $a^{2} (x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}) = a^{4} + 2 a^{2} c x + c^{2} x^{2}$ $a^{2} x^{2} + 2 a^{2} c x + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} + 2 a^{2} c x + c^{2} x^{2}$

Recordant que hi ha la relació $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , tenim: $(a^{2} - c^{2}) x^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4}$ $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} - a^{2} c^{2} = a^{2} (a^{2} - c^{2}) = a^{2} b^{2}$

Ara dividim els dos costats de l'expressió pel factor $a^{2} b^{2}$ i resulta: $\frac{b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{a^{2} b^{2}} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}}$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ Aquesta última expressió és l'equació de l'el·lipse que volíem trobar.

Exemple

Si ens donen l'expressió $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ Això correspon a una el·lipse centrada en l'origen de la qual calculem els semieixos de la següent manera: $a^{2} = 25 \Rightarrow a = \sqrt{25} = 5$ $b^{2} = 4 \Rightarrow b = \sqrt{4} = 2$

Quan valen els semieixos de l'el·lipse $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ ?

Igualant els denominadors als quadrats d'aquestes longituds obtenim: $a = \sqrt{3} b = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

Ara anem a treballar una mica amb aquesta equació.

Exemple

Anem a trobar els elements característics i l'equació reduïda de l'el·lipse de focus: $F^{'} (- 3, 0)$ i $F (3, 0)$ , i tal que el seu eix major mesura $10$ .

imagen

Atès que l'eix major mesura $10$ sabem que el semieix major serà la meitat.

Així obtenim: $2 a = 10 \Rightarrow a = 5$ .

Com que sabem que els focus són els punts $F^{'} (- 3, 0)$ i $F (3, 0)$ , la distància entre ells és $6$ .

Per tant: $2 c = 6 \Rightarrow c = 3$ .

Atès que coneixem la relació $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , aïllant la $b$ d'aquesta equació obtenim: $b^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow b = 4$

Ara, doncs, atès que ja coneixem els semieixos major i menor, agafem l'equació de l'el·lipse i li substituïm els valors, obtenint així l'equació d'aquesta el·lipse. $\frac{x^{2}}{5^{2}} + \frac{y^{2}}{4^{2}} = 1$ Finalment, podem calcular l'excentricitat que és $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$