Equació de l'el·lipse amb centre (x0, y0) i focus paral·lels a l'eix x

Ara el centre de l'el·lipse ja no és l'origen del pla sinó que es troba en un punt $C$ al qual definim com $C = (x_{0}, y_{0})$ .

En aquest cas considerarem que l'eix focal és paral·lel a l'eix d'abscisses, i per tant els focus estan en les coordenades $F^{'} (x_{0} - c, y_{0})$ i $F (x_{0} + c, y_{0})$ .

Aplicant aquests focus en la definició general de l'el·lipse $\overset{―}{P F} + \overset{―}{P F^{'}} = 2 a$ s'obté l'expressió $\sqrt{(x - x_{0} + c)^{2} + (y - y_{0})^{2}} + \sqrt{(x - x_{0} - c)^{2} + (y - y_{0})^{2}} = 2 a$

En restar l'arrel, i elevant al quadrat: $(\sqrt{(x - x_{0} + c)^{2} + (y - y_{0})^{2}})^{2} = (2 a - \sqrt{(x - x_{0} - c) + (y - y_{0})})^{2}$ $(x - x_{0} + c)^{2} + (y - y_{0})^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x - x_{0} - x)^{2} + (y - y_{0})^{2}} + (x - x_{0} - c)^{2} + (y - y_{0})^{2}$ $(x - x_{0})^{2} + 2 (x - x_{0}) c + c^{2} + (y - y_{0})^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x - x_{0} - c)^{2} + (y - y_{0})^{2}} +$ $+ (x - x_{0})^{2} - 2 (x - x_{0}) c + c^{2} + (y - y_{0})^{2}$

Simplificant i dividint per quatre: $4 (x - x_{0}) c = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x - x_{0} - c)^{2} + (y - y_{0})^{2}}$ $(x - x_{0}) c = a^{2} - a \sqrt{(x - x_{0} - c)^{2} + (y - y_{0})^{2}}$

En aïllar l'arrel i elevar novament al quadrat: $(a^{2} - c (x - x_{0}))^{2} = (a \sqrt{(x - x_{0} - c)^{2} + (y - y_{0})^{2}})^{2}$ $a^{4} - 2 a^{2} c (x - x_{0}) + c^{2} (x - x_{0})^{2} = a^{2} ((x - x_{0} - c)^{2} + (y - y_{0})^{2})$ $a^{4} - 2 a^{2} c (x - x_{0}) + c^{2} (x - x_{0})^{2} = a^{2} ((x - x_{0})^{2} - 2 c (x - x_{0}) + c^{2} + (y - y_{0})^{2})$ $a^{4} - 2 a^{2} c (x - x_{0}) + c^{2} (x - x_{0})^{2} = a^{2} (x - x_{0})^{2} - 2 a^{2} c (x - x_{0}) + a^{2} c^{2} + a^{2} (y - y_{0})^{2}$ $c^{2} (x - x_{0})^{2} - a^{2} (x - x_{0})^{2} - a^{2} (y - y_{0})^{2} = a^{2} c^{2} - a^{4}$ $(c^{2} - a^{2}) (x - x_{0})^{2} - a^{2} (y - y_{0})^{2} = a^{2} (c^{2} - a^{2})$

Es divideix llavors per $a^{2} (c^{2} - a^{2})$ per obtenir un 1 a la dreta: $\frac{(c^{2} - a^{2}) (x - x_{0})^{2}}{a^{2} (c^{2} - a^{2})} - \frac{a^{2} (y - y_{0})^{2}}{a^{2} (c^{2} - a^{2})} = 1$ $\frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - y_{0})^{2}}{(c^{2} - a^{2})} = 1$

Aplicant la definició $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , $- b^{2} = c^{2} - a^{2}$ es substitueix i s'arriba a l'equació desitjada: $\frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - y_{0})^{2}}{- b^{2}} = 1 ⟹ \frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_{0})^{2}}{b^{2}} = 1$

Per tant l'equació és $\frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_{0})^{2}}{b^{2}} = 1$ i el dibuix corresponent és:

imagen

Exemple

Troba l'equació de l'el·lipse centrada en el $(4, 2)$ i amb focus $(7, 2)$ amb semieix major $5$ .

Per calcular $c$ només cal que a la component $x$ del focus li restem la component $x$ del centre, així doncs $c = 7 - 4 = 3$ .

També sabem que $a = 5$ per l'enunciat, així doncs mitjançant la relació $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ btenim que $b^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16$ $b = 4$ Per tant substituint en l'equació s'ha de l'expressió de l'el·lipse en qüestió és: $\frac{(x - 4)^{2}}{5^{2}} + \frac{(y - 2)^{2}}{4^{2}} = 1$