Ara el centre de l'el·lipse ja no és l'origen del pla sinó que es troba en un punt $$C$$ al qual definim com $$C=(x_0,y_0)$$.
En aquest cas considerarem que l'eix focal és paral·lel a l'eix d'abscisses, i per tant els focus estan en les coordenades $$F' (x_0-c,y_0)$$ i $$F(x_0+c,y_0)$$.
Aplicant aquests focus en la definició general de l'el·lipse $$$\overline{PF}+\overline{PF'}=2a$$$ s'obté l'expressió $$$\sqrt{(x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2}+\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}=2a$$$
En restar l'arrel, i elevant al quadrat: $$$\Big(\sqrt{(x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2}\Big)^2=\Big(2a-\sqrt{(x-x_0-c)+(y-y_0)}\Big)^2$$$ $$$(x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0-x)^2+(y-y_0)^2}+(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2$$$ $$$(x-x_0)^2+2(x-x_0)c+c^2+(y-y_0)^2= 4a^2-4a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}+$$$ $$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(x-x_0)^2-2(x-x_0)c+c^2+(y-y_0)^2$$$
Simplificant i dividint per quatre: $$$4(x-x_0)c=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}$$$ $$$(x-x_0)c=a^2-a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}$$$
En aïllar l'arrel i elevar novament al quadrat: $$$(a^2-c(x-x_0))^2=\Big(a \sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}\Big)^2$$$ $$$a^4-2a^2c(x-x_0)+c^2(x-x_0)^2= a^2\Big((x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2\Big)$$$ $$$a^4-2a^2c(x-x_0)+c^2(x-x_0)^2= a^2\Big((x-x_0)^2-2c(x-x_0)+c^2+(y-y_0)^2\Big)$$$ $$$a^4-2a^2c(x-x_0)+c^2(x-x_0)^2=a^2(x-x_0)^2-2a^2c(x-x_0)+a^2c^2+a^2(y-y_0)^2$$$ $$$c^2(x-x_0)^2-a^2(x-x_0)^2-a^2(y-y_0)^2=a^2c^2-a^4$$$ $$$(c^2-a^2)(x-x_0)^2-a^2(y-y_0)^2= a^2(c^2-a^2)$$$
Es divideix llavors per $$a^2(c^2-a^2)$$ per obtenir un 1 a la dreta: $$$\displaystyle \frac{(c^2-a^2)(x-x_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2(y-y_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}=1$$$ $$$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{(c^2-a^2)}=1$$$
Aplicant la definició $$a^2=b^2+c^2$$, $$-b^2=c^2-a^2$$ es substitueix i s'arriba a l'equació desitjada: $$$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{-b^2}= 1 \Longrightarrow \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$$
Per tant l'equació és $$$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$$ i el dibuix corresponent és:
Troba l'equació de l'el·lipse centrada en el $$(4,2)$$ i amb focus $$(7,2)$$ amb semieix major $$5$$.
Per calcular $$c$$ només cal que a la component $$x$$ del focus li restem la component $$x$$ del centre, així doncs $$c=7-4=3$$.
També sabem que $$a=5$$ per l'enunciat, així doncs mitjançant la relació $$a^2=b^2+c^2$$ btenim que $$$b^2=5^2-3^2=25-9=16$$$ $$$b=4$$$ Per tant substituint en l'equació s'ha de l'expressió de l'el·lipse en qüestió és: $$$\displaystyle \frac{(x-4)^2}{5^2}+\frac{(y-2)^2}{4^2}=1$$$