Equació de l'el·lipse amb focus sobre l'eix OY

Ara suposarem que els focus $F$ i $F^{'}$ estan sobre l'eix $O Y$ , de manera que vénen definits per $F^{'} = (0, - c)$ i $F = (0, c)$ i per tant l'el·lipse també està centrada en l'origen, però ara el semieix major és el vertical i el semieix menor és l'horitzontal, just el contrari que l'equació I de l'el·lipse.

Amb la mateixa definició d'el·lipse escriurem que qualsevol punt $P$ de l'el·lipse compleix: $\overset{―}{P F} + \overset{―}{P F^{'}} = 2 a$ on a correspon a una constant que podem determinar com: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ . Vegem-ho en el següent dibuix:

imagen

Desenvoluparem ara $\overset{―}{P F} + \overset{―}{P F^{'}} = 2 a$ que equival a l'expressió $\sqrt{x^{2} + (y - c)^{2}} + \sqrt{x^{2} + (y + c)^{2}} = 2 a$ Aïllem la primera arrel i ho elevem tot al quadrat: $(\sqrt{(y - c)^{2} + x^{2}})^{2} = (2 a - \sqrt{(y + c)^{2} + x^{2}})^{2}$ $(y - c)^{2} + x^{2} = 4 a^{2} - 2 \cdot 2 a \sqrt{(y + c)^{2} + x^{2}} + (y + c)^{2} + x^{2}$ $y^{2} - 2 y c + c^{2} + x^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(y - c)^{2} + x^{2}} + y^{2} + 2 y c + c^{2} + x^{2}$

Ara aïllem en un costat de l'equació l'arrel que ens queda, tenim: $4 a \sqrt{(y + c)^{2} + x^{2}} = 4 a^{2} + 4 y c$ $a \sqrt{(y + c)^{2} + x^{2}} = \frac{4 a^{2} + 4 y c}{4} = a^{2} + c y$

Elevem al quadrat els dos costats de la igualtat: $(a \sqrt{(y + c)^{2} + x^{2}})^{2} = (a^{2} + c y)^{2}$ $a^{2} ((y + c)^{2} + x^{2}) = a^{4} + 2 a^{2} c y + c^{2} y^{2}$ $a^{2} (y^{2} + 2 c y + c^{2} + x^{2}) = a^{4} + 2 a^{2} c y + c^{2} y^{2}$ $a^{2} y^{2} + 2 a^{2} c y + a^{2} c y + a^{2} c^{2} + a^{2} x^{2} = a^{4} + 2 a^{2} c y + c^{2} y^{2}$

Recordant que hi ha la relació $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , tenim: $(a^{2} - c^{2}) y^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} x^{2} = a^{4}$ $b^{2} y^{2} + a^{2} x^{2} = a^{4} - a^{2} c^{2} = a^{2} (a^{2} - c^{2}) = a^{2} b^{2}$

Ara dividim els dos costats de l'expressió pel factor $a^{2} b^{2}$ i resulta: $\frac{b^{2} y^{2} + a^{2} x^{2}}{a^{2} b^{2}} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}}$ $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$

Ja tenim l'equació de l'el·lipse per aquest segon cas. Com es pot apreciar, la fórmula és molt semblant, només que ara el quadrat del valor del semieix major ja no està sota les $x$ , sinó sota les $y$ . S'han intercanviat els valors dels semieixos dels denominadors.

Vegem algun exemple:

Exemple

Determinarem l'equació de l'el·lipse de focus $(0, \sqrt{5})$ i $(0, - \sqrt{5})$ amb semieix menor $2$ i semieix major $3$ .

La informació dels focus ens diu que aquests estan situats sobre l'eix $O Y$ i per tant l'equació a considerar és $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ on $a$ és el semieix major i $b$ el semieix menor. Així doncs, substituint ens queda: $\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1$