Aquest cas es diferencia únicament de l'Equació III de l'el·lipse en el fet que l'eix major és paral·lel a l'eix $$OY$$. L'equació només queda modificada en què $$x$$ i $$y$$ s'intercanvien els papers, per tant, tindran els coeficients del denominador canviats.
Vegem la demostració:
L'eix focal és ara paral·lel a l'eix de les ordenades, i per tant els focus estan en els punts $$F'(x_0,y_0-c)$$ i $$F(x_0,y_0+c)$$.
Aplicant ara la definició general obtenim $$$\displaystyle \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0+c)^2}+\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}=2a$$$
Tal com es fa per a l'el·lipse horitzontal, se suma l'arrel, i elevem els dos costats de l'equació al quadrat: $$$\displaystyle \Big(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0+c)^2}\Big)^2=\Big(2a-\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}\Big)^2$$$ $$$(x-x_0)^2+(y-y_0+c)^2=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}+(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2$$$ $$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+2(y-y_0)c+c^2= 4a^2-4a \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}+$$$ $$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-2(y-y_0)c+c^2$$$
En simplificar i dividint per quatre en els dos costats obtenim: $$$4(y-y_0)c=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}$$$ $$$(y-y_0)c=a^2-a \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}$$$
En aïllar l'arrel i elevar novament al quadrat: $$$(c(y-y_0)-a^2)^2= \Big(-a \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}\Big)^2$$$ $$$c^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^4= a^2((x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2)$$$ $$$c^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^4=a^2((x-x_0)^2+(y-y_0)^2-2c(y-y_0)+c^2)$$$ $$$c^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^4=a^2(x-x_0)^2+a^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^2c^2$$$ $$$c^2(y-y_0)^2-a^2(y-y_0)^2-a^2(x-x_0)^2= a^2 c^2-a^4$$$ $$$(c^2-a^2)(y-y_0)^2-a^2(x-x_0)^2=a^2(c^2-a^2)$$$
Dividim llavors entre $$a^2(c^2-a^2)$$ per obtenir un 1 a la dreta: $$$\displaystyle \frac{(c^2-a^2)(y-y_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2(x-x_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}=1$$$ $$$\frac{(y-y_0)^2}{a^2}-\frac{(x-x_0)^2}{(c^2-a^2)}=1 $$$
En aplicar la definició $$a^2= b^2+c^2$$, $$-b^2=c^2-a^2$$ es substitueix i s'arriba a l'equació desitjada per a l'el·lipse vertical: $$$\displaystyle \frac{(y-y_0)^2}{a^2}- \frac{(x-x_0)^2}{-b^2}= 1 \Longrightarrow \frac{(y-y_0)^2}{a^2}+\frac{(x-x_0)^2}{b^2}=1 $$$.
Determinar l'equació d'una el·lipse amb centre en el punt $$(1,-1)$$ i amb un focus al punt $$(1,2)$$. A més se sap que passa pel punt $$(1,4)$$.
Primer hem de pensar en quin eix hi ha els focus de l'el·lipse. Com que el centre és $$(1,-1)$$ i un focus està en el $$(1,2)$$, ens n'adonem que la primera component es manté en l'1, és a dir la recta que uneix el centre per tal focus és la recta $$x=1$$.
Així doncs ja sabem que els focus estan sobre una recta paral·lela a l'eix d'ordenades $$OY$$. Si l'el·lipse passa pel punt $$(1,4)$$, la distància de tal punt (que també és de la recta $$x=1$$ i per tant de l'eix major) al centre és la diferència de les seves components $$y$$.
És a dir: $$a=4-(-1)=5$$.
De la mateixa manera es raona que el valor de $$c$$, que és la distància del focus al centre, és la diferència de les segones components, és a dir: $$c=2-(-1)=3$$.
Com que ja tenim els valors de $$a$$ i $$c$$, mitjançant la relació $$a^2=b^2+c^2$$, obtenim: $$b=\sqrt{25-9}=4$$.
Substituint en l'equació: $$$\displaystyle \frac{(y-y_0)^2}{a^2}+\frac{(x-x_0)^2}{b^2}=1 \Longrightarrow \frac{(y+1)^2}{5^2}+\frac{(x-1)^2}{4^2}=1$$$