Equació de l'el·lipse amb centre (x0, y0) i focus paral·lels a l'eix y

Aquest cas es diferencia únicament de l'Equació III de l'el·lipse en el fet que l'eix major és paral·lel a l'eix $O Y$ . L'equació només queda modificada en què $x$ i $y$ s'intercanvien els papers, per tant, tindran els coeficients del denominador canviats.

Vegem la demostració:

L'eix focal és ara paral·lel a l'eix de les ordenades, i per tant els focus estan en els punts $F^{'} (x_{0}, y_{0} - c)$ i $F (x_{0}, y_{0} + c)$ .

Aplicant ara la definició general obtenim $\sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} + c)^{2}} + \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}} = 2 a$

Tal com es fa per a l'el·lipse horitzontal, se suma l'arrel, i elevem els dos costats de l'equació al quadrat: $(\sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} + c)^{2}})^{2} = (2 a - \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}})^{2}$ $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} + c)^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}} + (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}$ $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + 2 (y - y_{0}) c + c^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}} +$ $+ (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} - 2 (y - y_{0}) c + c^{2}$

En simplificar i dividint per quatre en els dos costats obtenim: $4 (y - y_{0}) c = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}}$ $(y - y_{0}) c = a^{2} - a \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}}$

En aïllar l'arrel i elevar novament al quadrat: $(c (y - y_{0}) - a^{2})^{2} = (- a \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}})^{2}$ $c^{2} (y - y_{0})^{2} - 2 a^{2} c (y - y_{0}) + a^{4} = a^{2} ((x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2})$ $c^{2} (y - y_{0})^{2} - 2 a^{2} c (y - y_{0}) + a^{4} = a^{2} ((x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} - 2 c (y - y_{0}) + c^{2})$ $c^{2} (y - y_{0})^{2} - 2 a^{2} c (y - y_{0}) + a^{4} = a^{2} (x - x_{0})^{2} + a^{2} (y - y_{0})^{2} - 2 a^{2} c (y - y_{0}) + a^{2} c^{2}$ $c^{2} (y - y_{0})^{2} - a^{2} (y - y_{0})^{2} - a^{2} (x - x_{0})^{2} = a^{2} c^{2} - a^{4}$ $(c^{2} - a^{2}) (y - y_{0})^{2} - a^{2} (x - x_{0})^{2} = a^{2} (c^{2} - a^{2})$

Dividim llavors entre $a^{2} (c^{2} - a^{2})$ per obtenir un 1 a la dreta: $\frac{(c^{2} - a^{2}) (y - y_{0})^{2}}{a^{2} (c^{2} - a^{2})} - \frac{a^{2} (x - x_{0})^{2}}{a^{2} (c^{2} - a^{2})} = 1$ $\frac{(y - y_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(x - x_{0})^{2}}{(c^{2} - a^{2})} = 1$

En aplicar la definició $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , $- b^{2} = c^{2} - a^{2}$ es substitueix i s'arriba a l'equació desitjada per a l'el·lipse vertical: $\frac{(y - y_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(x - x_{0})^{2}}{- b^{2}} = 1 ⟹ \frac{(y - y_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(x - x_{0})^{2}}{b^{2}} = 1$ .

imagen

Exemple

Determinar l'equació d'una el·lipse amb centre en el punt $(1, - 1)$ i amb un focus al punt $(1, 2)$ . A més se sap que passa pel punt $(1, 4)$ .

Primer hem de pensar en quin eix hi ha els focus de l'el·lipse. Com que el centre és $(1, - 1)$ i un focus està en el $(1, 2)$ , ens n'adonem que la primera component es manté en l'1, és a dir la recta que uneix el centre per tal focus és la recta $x = 1$ .

Així doncs ja sabem que els focus estan sobre una recta paral·lela a l'eix d'ordenades $O Y$ . Si l'el·lipse passa pel punt $(1, 4)$ , la distància de tal punt (que també és de la recta $x = 1$ i per tant de l'eix major) al centre és la diferència de les seves components $y$ .

És a dir: $a = 4 - (- 1) = 5$ .

De la mateixa manera es raona que el valor de $c$ , que és la distància del focus al centre, és la diferència de les segones components, és a dir: $c = 2 - (- 1) = 3$ .

Com que ja tenim els valors de $a$ i $c$ , mitjançant la relació $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , obtenim: $b = \sqrt{25 - 9} = 4$ .

Substituint en l'equació: $\frac{(y - y_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(x - x_{0})^{2}}{b^{2}} = 1 ⟹ \frac{(y + 1)^{2}}{5^{2}} + \frac{(x - 1)^{2}}{4^{2}} = 1$