Ecuación de la elipse con centro (x0, y0) y focos paralelos al eje y

Este caso se diferencia únicamente de la Ecuación III de la elipse en que el eje mayor es paralelo al eje $O Y$ . La ecuación sólo queda modificada en que $x$ e $y$ se intercambian los papeles, por lo tanto, tendrán los coeficientes del denominador cambiados.

Veamos la demostración:

El eje focal es ahora paralelo al eje de las ordenadas, y por lo tanto los focos están en los puntos $F^{'} (x_{0}, y_{0} - c)$ y $F (x_{0}, y_{0} + c)$ .

Aplicando ahora la definición general obtenemos $\sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} + c)^{2}} + \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}} = 2 a$

Tal y como se hizo para la elipse horizontal, se suma la raíz, y elevamos los dos lados de la ecuación al cuadrado: $(\sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} + c)^{2}})^{2} = (2 a - \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}})^{2}$ $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} + c)^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}} + (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}$ $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + 2 (y - y_{0}) c + c^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}} +$ $+ (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} - 2 (y - y_{0}) c + c^{2}$

Al simplificar y dividiendo por cuatro en los dos lados obtenemos: $4 (y - y_{0}) c = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}}$ $(y - y_{0}) c = a^{2} - a \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}}$

Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado: $(c (y - y_{0}) - a^{2})^{2} = (- a \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2}})^{2}$ $c^{2} (y - y_{0})^{2} - 2 a^{2} c (y - y_{0}) + a^{4} = a^{2} ((x - x_{0})^{2} + (y - y_{0} - c)^{2})$ $c^{2} (y - y_{0})^{2} - 2 a^{2} c (y - y_{0}) + a^{4} = a^{2} ((x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} - 2 c (y - y_{0}) + c^{2})$ $c^{2} (y - y_{0})^{2} - 2 a^{2} c (y - y_{0}) + a^{4} = a^{2} (x - x_{0})^{2} + a^{2} (y - y_{0})^{2} - 2 a^{2} c (y - y_{0}) + a^{2} c^{2}$ $c^{2} (y - y_{0})^{2} - a^{2} (y - y_{0})^{2} - a^{2} (x - x_{0})^{2} = a^{2} c^{2} - a^{4}$ $(c^{2} - a^{2}) (y - y_{0})^{2} - a^{2} (x - x_{0})^{2} = a^{2} (c^{2} - a^{2})$

Dividir entonces entre $a^{2} (c^{2} - a^{2})$ para obtener un 1 a la derecha: $\frac{(c^{2} - a^{2}) (y - y_{0})^{2}}{a^{2} (c^{2} - a^{2})} - \frac{a^{2} (x - x_{0})^{2}}{a^{2} (c^{2} - a^{2})} = 1$ $\frac{(y - y_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(x - x_{0})^{2}}{(c^{2} - a^{2})} = 1$

Al aplicar la definición $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , $- b^{2} = c^{2} - a^{2}$ se sustituye y se llega a la ecuación deseada para la elipse vertical: $\frac{(y - y_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(x - x_{0})^{2}}{- b^{2}} = 1 ⟹ \frac{(y - y_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(x - x_{0})^{2}}{b^{2}} = 1$ .

imagen

Ejemplo

Determinar la ecuación de una elipse con centro en el punto $(1, - 1)$ y con un foco en el punto $(1, 2)$ . Además se sabe que pasa por el punto $(1, 4)$ .

Primero debemos pensar en qué eje están los focos de la elipse. Como el centro es $(1, - 1)$ y un foco está en el $(1, 2)$ , nos damos cuenta que la primera componente se mantiene en el 1, es decir la recta que une el centro con tal foco es la recta $x = 1$ .

Así pues ya sabemos que los focos están sobre una recta paralela al eje de ordenadas $O Y$ . Si la elipse pasa por el punto $(1, 4)$ , la distancia de tal punto (que también es de la recta $x = 1$ y por lo tanto del eje mayor) al centro es la diferencia de sus componentes $y$ .

Es decir: $a = 4 - (- 1) = 5$ .

De la misma manera se razona que el valor de $c$ que es la distancia del foco al centro es la resta de sus segundas componentes, es decir: $c = 2 - (- 1) = 3$ .

Como ya tenemos los valores de $a$ y $c$ , mediante la relación $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , obtenemos: $b = \sqrt{25 - 9} = 4$ .

Sustituyendo en la ecuación: $\frac{(y - y_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(x - x_{0})^{2}}{b^{2}} = 1 ⟹ \frac{(y + 1)^{2}}{5^{2}} + \frac{(x - 1)^{2}}{4^{2}} = 1$