Ecuación de la elipse con focos sobre el eje OY

Ahora supondremos que los focos $F$ y $F^{\prime }$ están sobre el eje $OY$, de forma que vienen definidos por $F^{\prime }=(0,-c)$ y $F=(0,c)$ y por lo tanto la elipse también está centrada en el origen, pero ahora el semieje mayor es el vertical y el semieje menor es el horizontal, justo lo contrario que la ecuación elipse I.

Con la misma definición de elipse escribiremos que cualquier punto $P$ de la elipse cumple: $$\overline{PF}+\overline{P{F}^{\prime }}=2a$$ donde $a$ corresponde a una constante que podemos determinar como: $a^2=b^2+c^2$. Veámoslo en el siguiente dibujo:

Desarrollaremos ahora $$\overline{PF}+\overline{P{F}^{\prime }}=2a$$ que equivale a la expresión $$\sqrt{x^2+(y-c{)}^2}+\sqrt{x^2+(y+c{)}^2}=2a$$ Aislamos la primera raíz y lo elevamos todo al cuadrado: $$(\sqrt{(y-c{)}^2+x^2}{)}^2=(2a-\sqrt{(y+c{)}^2+x^2}{)}^2$$ $$(y-c{)}^2+x^2=4a^2-2\cdot 2a\sqrt{(y+c{)}^2+x^2}+(y+c{)}^2+x^2$$ $$y^2-2yc+c^2+x^2=4a^2-4a\sqrt{(y-c{)}^2+x^2}+y^2+2yc+c^2+x^2$$

Ahora aislamos en un lado de la ecuación la raíz que nos queda, tenemos: $$4a\sqrt{(y+c{)}^2+x^2}=4a^2+4yc$$ $${\displaystyle a\sqrt{(y+c{)}^2+x^2}=\frac{4a^2+4yc}{4}=a^2+cy}$$

Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad: $$(a\sqrt{(y+c{)}^2+x^2}{)}^2=(a^2+cy{)}^2$$ $$a^2((y+c{)}^2+x^2)=a^4+2a^{2}cy+c^2{y}^2$$ $$a^2(y^2+2cy+c^2+x^2)=a^4+2a^{2}cy+c^2{y}^2$$ $$a^2{y}^2+2a^{2}cy+a^{2}cy+a^2{c}^2+a^2{x}^2=a^4+2a^{2}cy+c^2{y}^2$$

Recordando que existe la relación $a^2=b^2+c^2$, tenemos: $$(a^2-c^2)y^2+a^2{c}^2+a^2{x}^2=a^4$$ $$b^2{y}^2+a^2{x}^2=a^4-a^2{c}^2=a^2(a^2-c^2)=a^2{b}^2$$

Ahora dividimos ambos lados de la expresión por el factor $a^2{b}^2$ y resulta: $${\displaystyle \frac{b^2{y}^2+a^2{x}^2}{a^2{b}^2}=\frac{a^2{b}^2}{a^2{b}^2}}$$ $${\displaystyle \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1}$$

Ya tenemos la ecuación de la elipse para este segundo caso. Como se puede apreciar, la fórmula es muy parecida, solo que ahora el cuadrado del valor del semieje mayor ya no está debajo de las $x$, sino debajo de las $y$. Se han intercambiado los valores de los semiejes de los denominadores.

Veamos un ejemplo: