Estudio de la elipse

Una elipse se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Su representación gráfica es:

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Ahora vamos a definir los elementos que la caracterizan.

  • Focos: son los puntos fijos $$F_1$$ y $$F_2$$.
  • Eje focal: es la recta que pasa por los dos focos.
  • Eje secundario: es la mediatriz del segmento formado por los dos focos.
  • Centro: es el punto de intersección del eje focal con el eje secundario.
  • Distancia focal: es la distancia entre los dos focos. La semidistancia focal es entonces la mitad y por lo tanto la distancia de cualquier foco al centro (se le llama $$c$$).
  • Vértices: es el punto de corte de la elipse con los ejes secundario y focal.
  • Eje mayor: es el segmento que une el vértice $$A$$ con el vértice $$B$$.
  • Eje menor: es el segmento que une el vértice $$C$$ con el vértice $$D$$.
  • Ejes de simetría: son las rectas que contienen alguno de los dos ejes siguientes: el mayor o el menor.
  • Centro de simetría: coincide con el centro de la elipse y es el punto intersección de todos los ejes de simetría.

La excentricidad de una elipse (se denota con la letra $$e$$) es la razón entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

Este valor se encuentra entre cero y uno dado que $$a>c>0$$. Así pues se tiene: $$$\displaystyle e=\frac{c}{a}$$$ donde $$c$$ es la semidistancia focal y $$a$$ es la longitud del semieje mayor.

La excentricidad indica la forma de una elipse, por eso una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero. Y será más achatada como más cerca esté del valor $$1$$.

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$$c=0$$, $$b=a$$; Excentricidad $$e=0$$

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$$c=3$$, $$a=5$$; Excentricidad $$\displaystyle e=\frac{3}{5}$$

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$$c=4$$, $$a=5$$; Excentricidad $$\displaystyle e=\frac{4}{5}$$

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$$c=a$$, $$b=0$$; Excentricidad $$e=1$$