Ecuación de la elipse con centro (x0, y0) y focos paralelos al eje x

Ahora el centro de la elipse ya no es el origen del plano sino que se encuentra en un punto $C$ al que le definimos como $C = (x_{0}, y_{0})$ .

En este caso consideraremos que el eje focal es paralelo al eje de abscisas, y por lo tanto los focos están en las coordenadas $F^{'} (x_{0} - c, y_{0})$ y $F (x_{0} + c, y_{0})$ .

Aplicando estos focos en la definición general de la elipse $\overset{―}{P F} + \overset{―}{P F^{'}} = 2 a$ se obtiene la expresión $\sqrt{(x - x_{0} + c)^{2} + (y - y_{0})^{2}} + \sqrt{(x - x_{0} - c)^{2} + (y - y_{0})^{2}} = 2 a$

Al restar la raíz, y elevando al cuadrado: $(\sqrt{(x - x_{0} + c)^{2} + (y - y_{0})^{2}})^{2} = (2 a - \sqrt{(x - x_{0} - c) + (y - y_{0})})^{2}$ $(x - x_{0} + c)^{2} + (y - y_{0})^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x - x_{0} - x)^{2} + (y - y_{0})^{2}} + (x - x_{0} - c)^{2} + (y - y_{0})^{2}$ $(x - x_{0})^{2} + 2 (x - x_{0}) c + c^{2} + (y - y_{0})^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x - x_{0} - c)^{2} + (y - y_{0})^{2}} +$ $+ (x - x_{0})^{2} - 2 (x - x_{0}) c + c^{2} + (y - y_{0})^{2}$

Simplificando y dividiendo por cuatro: $4 (x - x_{0}) c = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x - x_{0} - c)^{2} + (y - y_{0})^{2}}$ $(x - x_{0}) c = a^{2} - a \sqrt{(x - x_{0} - c)^{2} + (y - y_{0})^{2}}$

Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado: $(a^{2} - c (x - x_{0}))^{2} = (a \sqrt{(x - x_{0} - c)^{2} + (y - y_{0})^{2}})^{2}$ $a^{4} - 2 a^{2} c (x - x_{0}) + c^{2} (x - x_{0})^{2} = a^{2} ((x - x_{0} - c)^{2} + (y - y_{0})^{2})$ $a^{4} - 2 a^{2} c (x - x_{0}) + c^{2} (x - x_{0})^{2} = a^{2} ((x - x_{0})^{2} - 2 c (x - x_{0}) + c^{2} + (y - y_{0})^{2})$ $a^{4} - 2 a^{2} c (x - x_{0}) + c^{2} (x - x_{0})^{2} = a^{2} (x - x_{0})^{2} - 2 a^{2} c (x - x_{0}) + a^{2} c^{2} + a^{2} (y - y_{0})^{2}$ $c^{2} (x - x_{0})^{2} - a^{2} (x - x_{0})^{2} - a^{2} (y - y_{0})^{2} = a^{2} c^{2} - a^{4}$ $(c^{2} - a^{2}) (x - x_{0})^{2} - a^{2} (y - y_{0})^{2} = a^{2} (c^{2} - a^{2})$

Se divide entonces por $a^{2} (c^{2} - a^{2})$ para obtener un 1 a la derecha: $\frac{(c^{2} - a^{2}) (x - x_{0})^{2}}{a^{2} (c^{2} - a^{2})} - \frac{a^{2} (y - y_{0})^{2}}{a^{2} (c^{2} - a^{2})} = 1$ $\frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - y_{0})^{2}}{(c^{2} - a^{2})} = 1$

Aplicando la definición $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ , $- b^{2} = c^{2} - a^{2}$ se sustituye y se llega a la ecuación deseada: $\frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - y_{0})^{2}}{- b^{2}} = 1 ⟹ \frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_{0})^{2}}{b^{2}} = 1$

Por lo tanto la ecuación es $\frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_{0})^{2}}{b^{2}} = 1$ y el dibujo correspondiente es:

imagen

Ejemplo

Hallemos la ecuación de la elipse centrada en el $(4, 2)$ y con focos $(7, 2)$ con semieje mayor $5$ .

Para calcular $c$ solo hace falta que a la componente $x$ del foco le restemos la componente $x$ del centro, así pues $c = 7 - 4 = 3$ .

También sabemos que $a = 5$ por el enunciado, así pues mediante la relación $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ obtenemos que $b^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16$ $b = 4$ Por lo tanto sustituyendo en la ecuación se tiene que la expresión de la elipse en cuestión es: $\frac{(x - 4)^{2}}{5^{2}} + \frac{(y - 2)^{2}}{4^{2}} = 1$