Ecuación de la elipse con centro (x0, y0) y focos paralelos al eje x

Ahora el centro de la elipse ya no es el origen del plano sino que se encuentra en un punto $$C$$ al que le definimos como $$C=(x_0,y_0)$$.

En este caso consideraremos que el eje focal es paralelo al eje de abscisas, y por lo tanto los focos están en las coordenadas $$F' (x_0-c,y_0)$$ y $$F(x_0+c,y_0)$$.

Aplicando estos focos en la definición general de la elipse $$$\overline{PF}+\overline{PF'}=2a$$$ se obtiene la expresión $$$\sqrt{(x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2}+\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}=2a$$$

Al restar la raíz, y elevando al cuadrado: $$$\Big(\sqrt{(x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2}\Big)^2=\Big(2a-\sqrt{(x-x_0-c)+(y-y_0)}\Big)^2$$$ $$$(x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0-x)^2+(y-y_0)^2}+(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2$$$ $$$(x-x_0)^2+2(x-x_0)c+c^2+(y-y_0)^2= 4a^2-4a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}+$$$ $$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(x-x_0)^2-2(x-x_0)c+c^2+(y-y_0)^2$$$

Simplificando y dividiendo por cuatro: $$$4(x-x_0)c=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}$$$ $$$(x-x_0)c=a^2-a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}$$$

Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado: $$$(a^2-c(x-x_0))^2=\Big(a \sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}\Big)^2$$$ $$$a^4-2a^2c(x-x_0)+c^2(x-x_0)^2= a^2\Big((x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2\Big)$$$ $$$a^4-2a^2c(x-x_0)+c^2(x-x_0)^2= a^2\Big((x-x_0)^2-2c(x-x_0)+c^2+(y-y_0)^2\Big)$$$ $$$a^4-2a^2c(x-x_0)+c^2(x-x_0)^2=a^2(x-x_0)^2-2a^2c(x-x_0)+a^2c^2+a^2(y-y_0)^2$$$ $$$c^2(x-x_0)^2-a^2(x-x_0)^2-a^2(y-y_0)^2=a^2c^2-a^4$$$ $$$(c^2-a^2)(x-x_0)^2-a^2(y-y_0)^2= a^2(c^2-a^2)$$$

Se divide entonces por $$a^2(c^2-a^2)$$ para obtener un 1 a la derecha: $$$\displaystyle \frac{(c^2-a^2)(x-x_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2(y-y_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}=1$$$ $$$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{(c^2-a^2)}=1$$$

Aplicando la definición $$a^2=b^2+c^2$$, $$-b^2=c^2-a^2$$ se sustituye y se llega a la ecuación deseada: $$$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{-b^2}= 1 \Longrightarrow \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$$

Por lo tanto la ecuación es $$$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$$ y el dibujo correspondiente es: