Dada la hipérbola $$\dfrac{y^2}{2}-\dfrac{(x-4)^2}{18}=2$$, hallar:
a) El centro
b) Sus vértices
c) La distancia focal
Desarrollo:
a) Identificar primero en la expresión $$\dfrac{(y-y_0)^2}{a^2}-\dfrac{(x-x_0)^2}{b^2}=1$$ la ecuación. Para ello, dividir primero la ecuación dada entre $$2$$ para que quede en la parte de la derecha lo mismo. $$$\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{(x-4)^2}{36}=1$$$ A continuación identificar: $$$\dfrac{y^2}{2^2}-\dfrac{(x-4)^2}{6^2}=1$$$ El centro está en $$C(x_0,y_0)$$, por lo tanto $$C(4,0)$$.
b) Los vértices están en $$F'(x_0,y_0-a)$$ y $$F(x_0,y_0+a)$$. Como $$a=2$$, $$F'(4,-2)$$ y $$F(4,2)$$.
c) Buscar la distancia focal: $$c^2=a^2+b^2=2^2+6^2=4+36=40$$. Hacer la raíz: $$$c=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$$$
Solución:
a) $$C (4,0)$$
b) Los vértices se encuentran en $$F' (4,-2)$$ y $$F (4,2)$$.
c) La distancia focal es $$c=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$$