Ecuación de la hipérbola vertical

A continuación se analizan las hipérbolas verticales con centro en el punto genérico $C(x_0,y_0)$. El eje focal es ahora paralelo al eje de las ordenadas, y por lo tanto los focos están en los puntos $F^{\prime }(x_0,y_0-c)$ y $F(x_0,y_0+c)$.

Aplicando ahora la definición general obtenemos $$\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0+c{)}^2}-\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2}=2a$$

Se suma la raíz y se eleva al cuadrado: $$\begin{array}{rcl}(\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0+c{)}^2}{)}^2& =& (2a+\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2}{)}^2\\ (x-x_0{)}^2+(y-y_0+c{)}^2& =& 4a^2+4a\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2}+\\ & & +(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2\\ (x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+2(y-y_0)c+c^2& =& 4a^2+4a\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2}+\\ & & +(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2-2(y-y_0{)}^2\\ & & -2(y-y_0)c+c^2\end{array}$$

Al simplificar y dividiendo por cuatro: $$\begin{array}{rcl}4(y-y_0)c& =& 4a^2+4a\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2}\\ (y-y_0)c& =& a^2+a\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2}\end{array}$$

Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado: $$\begin{array}{rcl}(c(y-y_0)-a^2{)}^2& =& (a\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2}{)}^2\\ c^2(y-y_0{)}^2-2a^{2}c(y-y_0)+a^4& =& a^2((x-x_0{)}^2+(y-y_0-c{)}^2)\\ c^2(y-y_0{)}^2-2a^{2}c(y-y_0)+a^4& =& a^2((x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2-2c(y-y_0)+c^2)\\ c^2(y-y_0{)}^2-2a^{2}c(y-y_0)+a^4& =& a^2(x-x_0{)}^2+a^2(y-y_0{)}^2-2a^{2}c(y-y_0)+a^2{c}^2\\ c^2(y-y_0{)}^2-a^2(y-y_0{)}^2-a^2(x-x_0{)}^2& =& a^2{c}^2-a^4\\ (c^2-a^2)(y-y_0{)}^2-a^2(x-x_0{)}^2& =& a^2(c^2-a^2)\end{array}$$

Dividir entonces entre $a^2(c^2-a^2)$ para obtener un $1$ a la derecha: $${\displaystyle \begin{array}{rcl}\frac{(c^2-a^2)(y-y_0{)}^2}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2(x-x_0{)}^2}{a^2(c^2-a^2)}& =& 1\\ \frac{(y-y_0{)}^2}{a^2}-\frac{(x-x_0{)}^2}{(c^2-a^2)}=1\end{array}}$$

Al aplicar la definición $c^2=a^2+b^2=$, $b^2=c^2-a^2$ se sustituye y se llega a la ecuación deseada para la hipérbola vertical: $${\displaystyle \frac{(y-y_0{)}^2}{a^2}-\frac{(x-x_0{)}^2}{b^2}=1}$$

A continuación se verá un ejemplo práctico en el que se observará de forma más sencilla los pasos realizados para llegar a la ecuación para la hipérbola vertical.

Al desarrollar la ecuación tanto de la hipérbola vertical como de la horizontal, en general, se puede expresar la ecuación de la forma $A{x}^2+B{y}^2+Cx+Dy+E=0$ en donde $A$ y $B$ no pueden tener el mismo signo.