Se tratará la ecuación reducida de la hipérbola . Este conjunto está formado por las hipérbolas cuyos ejes de simetría corresponden con los ejes coordenados, y que por lo tanto también ven coincidir su centro con el origen coordenado.
En primer término se tratarán las hipérbolas reducidas horizontales, que son aquellas en que el eje de abscisas corresponde con el eje focal. Los focos estarán entonces en los puntos $$F'(-c,0)$$ y $$F(c,0)$$.
Aplicando estos focos en la definición general de la hipérbola $$$\overline{PF}-\overline{PF'}=2a$$$ se obtiene la expresión $$$\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$$$
Al sumar la raíz, y elevando al cuadrado: $$$\begin{array}{rcl} \Big(\sqrt{(x+c)^2+y^2}\Big)^2 & = & \Big(2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2}\Big)^2 \\ (x+c)^2+y^2 & = & 4a^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2 \\ x^2+2xc+c^2+y^2 & = & 4a^2+4a \sqrt{(x-c)^2+y^2}+x^2-2xc+c^2+y^2 \end{array}$$$
Simplificando y dividiendo por cuatro: $$$\begin{array}{rcl} 4xc & = & 4a^2+4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} \\ xc & = & a^2+a \sqrt{(x-c)^2+y^2} \end{array} $$$
Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado: $$$\displaystyle \begin{array}{rcl} (cx-a^2)^2 & = & (a\sqrt{(x-c)^2+y^2})^2 \\ c^2x^2-2a^2cx+a^4& = & a^2((x-c)^2+y^2) \\ c^2x^2-2a^2cx+a^4 & = & a^2(x^2-2cx+c^2+y^2) \\ c^2x^2-2a^2cx+a^4 & = & a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2) \\ c^2x^2-a^2x^2-a^2y^2& = & a^2c^2-a^4 \\ (c^2-a^2)x^2-a^2y^2 & = & a^2(c^2-a^2)\end{array}$$$
Se divide entonces por $$a^2(c^2-a^2)$$ para obtener un $$1$$ a la derecha: $$$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{(c^2-a^2)x^2}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2y^2}{a^2(c^2-a^2)} & = & 1 \\ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{(c^2-a^2)}& = & 1 \end{array}$$$
Aplicando la definición $$c^2=a^2+b^2$$, $$b^2=c^2-a^2$$ se substituye y se llega a la ecuación deseada: $$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$$
A continuación se realizará un ejemplo en el que se muestra el desarrollo con un ejemplo práctico:
Hallar la ecuación de la hipérbola reducida horizontal con focos en $$F' (-2,0)$$ y $$F (2,0)$$ y excentricidad $$2$$.
Con los focos, se identifica $$c=2$$. Como $$\displaystyle e=\frac{c}{a}$$, se halla $$a=1$$.
Al aplicar $$\overline{PF}-\overline{PF'}=2$$ se llega a $$$\sqrt{(x+2)^2 + y^2}-\sqrt{(x+2)^2 + y^2}=2$$$
Se siguen entonces los pasos de la demostración: $$$\displaystyle \begin{array} {rcl} (\sqrt{(x+2)^2 + y^2})^2 & = & (2+\sqrt{(x+2)^2 + y^2})^2 \\ (x+2)^2 + y^2 & = & 2\cdot 2+2\cdot 2\sqrt{(x+2)^2 + y^2}+(x+2)^2 + y^2 \\ x^2+2x\cdot +2^2+y^2 & = & 4+4\sqrt{(x+2)^2 + y^2}+x^2-2x \cdot 2+2^2+y^2 \end{array}$$$ Se simplifica y se divide por $$4$$: $$$\begin{array}{rcl} 8x & = & 4+4\sqrt{(x-2)^2+y^2} \\2x & = & 1+\sqrt{(x-2)^2+y^2} \\ 2x-1 & = & \sqrt{(x-2)^2+y^2}\end{array}$$$
Se eleva nuevamente al cuadrado para deshacer la raíz. $$$\begin{array}{rcl} (2x-1)^2 & = & (\sqrt{(x-2)^2+y^2})^2 \\ 2^2x^2-2 \cdot 2 \cdot x +1^2 & = & (x-2)^2+y^2 \\ 4x^2-4x+1 & = & x^2-2 \cdot 2 x+2^2+y^2 \\ 4x^2-4x+1 & = & x^2-4x+4+y^2 \\ 3x^2-y^2 & = & 3\end{array} $$$ y finalmente, dividiendo por $$3$$, se llega a la ecuación de la hipérbola: $$$\displaystyle x^2-\frac{y^2}{3}=1$$$
Dada la ecuación $$$\displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$$$, hallar:
a) La distancia focal
Identificar en $$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, a^2=16$$ y $$b^2= 9$$.
Con $$c^2=a^2+b^2, c^2=16+9=25$$ y $$c=5$$.
La distancia focal es $$2c=10$$.
b) La posición de los vértices
$$a= \sqrt{16}=4$$
Los vértices están en $$A' (-a, 0)$$ y $$A (a, 0)$$. Identificando $$A' (-4,0)$$ y $$A (4,0)$$.
c) La excentricidad
La excentricidad es $$\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}$$.