Equació reduïda de la hipèrbola horitzontal

Es tractarà l'equació reduïda de la hipèrbola. Aquest conjunt està format per les hipèrboles els eixos de simetria de la qual corresponen amb els eixos de coordenades, i que per tant també veuen coincidir el seu centre amb l'origen de coordenades.

En primer terme es tractaran les hipèrboles reduïdes horitzontals, que són aquelles en que l'eix d'abscisses correspon amb l'eix focal. Els focus estaran llavors en els punts $F^{\prime }(-c,0)$ i $F(c,0)$.

Aplicant aquests focus en la definició general de la hipèrbola $$\overline{PF}-\overline{P{F}^{\prime }}=2a$$ s'obté l'expressió $${\displaystyle \sqrt{(x+c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a}$$

Al sumar l'arrel, i elevant al quadrat: $$\begin{array}{rcl}(\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}{)}^2& =& (2a+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}{)}^2\\ (x+c{)}^2+y^2& =& 4a^2+4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+(x-c{)}^2+y^2\\ x^2+2xc+c^2+y^2& =& 4a^2+4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+x^2-2xc+c^2+y^2\end{array}$$

Simplificant i dividint per quatre: $$\begin{array}{rcl}4xc& =& 4a^2+4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\\ xc& =& a^2+a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\end{array}$$

En aïllar l'arrel i elevar novament al quadrat: $${\displaystyle \begin{array}{rcl}(cx-a^2{)}^2& =& (a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}{)}^2\\ c^2{x}^2-2a^{2}cx+a^4& =& a^2((x-c{)}^2+y^2)\\ c^2{x}^2-2a^{2}cx+a^4& =& a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)\\ c^2{x}^2-2a^{2}cx+a^4& =& a^2{x}^2-2a^{2}cx+a^2{c}^2+a^2{y}^2)\\ c^2{x}^2-a^2{x}^2-a^2{y}^2& =& a^2{c}^2-a^4\\ (c^2-a^2)x^2-a^2{y}^2& =& a^2(c^2-a^2)\end{array}}$$

Es divideix llavors per $a^2(c^2-a^2)$ per obtenir un $1$ a la dreta: $${\displaystyle \begin{array}{rcl}\frac{(c^2-a^2)x^2}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2{y}^2}{a^2(c^2-a^2)}& =& 1\\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{(c^2-a^2)}& =& 1\end{array}}$$

Aplicant la definició $c^2=a^2+b^2$, $b^2=c^2-a^2$ es substitueix i s'arriba a l'equació desitjada: $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$$

A continuació es realitzarà un exemple en què es mostra el desenvolupament amb un exemple pràctic: